求助一道不等式最值

xsy12345

对于所有非负实数x,y,z，x+y+z≠0，求
f(x,y,z)=[xy(x²+y²)+yz(y²+z²)+zx(z²+x²)]/(x+y+z)⁴的最大值

战巡

这个题楼主自己出的么？？
设x=az,y=bz
带入得到
f(x,y,z)=[ab(a^2+b^2)+b(b^2+1)+a(a^2+1)]/(a+b+1)^4
并令它等于g(a,b)
可以算出g(a,b)在a>0,b>0时只有(1,1)一个极值，而且还是极小值
当b=ka,a趋于无穷时
g(a,b)=(k+k^3)/(1+k)^4
可以算出当k=1时它有最大值1/8
说明a>0,b>0时，g(a,b)<1/8
这是区域内的情况
然后进行边界判断
a=0时
g(0,b)=b(1+b^2)/(1+b)^4
最大为b=1时g(0,1)=1/8
b=0时同样解得
g(1,0)=1/8最大

xjc03

因为是关于Z的减函数
所以f(x,y,z)=[xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)]/(x+y+z)^4<=f(x,y,0)
f(x,y,0)=xy(x^2+y^2)/(x+y)^4<=1/2*1/4*(2xy+x^2+y^2)^2/(x+y)^4=1/8
当x=y  z=0的时候取到

2楼的错误在于这样设"x=az,y=bz"就忽略了z=0 x,y不为0的情况

黄健辉

太厉害啦

战巡

因为是关于Z的减函数
所以f(x,y,z)=[xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)]/(x+y+z)^4
xjc03 发表于 2009-6-8 18:11

嗯.....
原来如此，看来我疏忽了些....我以为x,y,z都大于0......
已经修正了

kuing

我好像在哪做过？
52aosai？

kuing

不管了，自己再做一次，如图

kuing

最小值显然是0，是两个为0另一个任意的时候取得，嗯，依然不是元全等时取，哟哩。

5601706

哇 靠,...厉害啊....顶!!!

kuing

:shuai
不是太难啊也，还靠。。。

石崇的BOSS

第一次看到阿kuing解题……

kuing

第一次看到阿kuing解题……
石崇的BOSS 发表于 2009-8-14 08:28

:shuai

难道你没上人教论坛吗

石崇的BOSS

:shuai

难道你没上人教论坛吗
kuing 发表于 2009-8-14 12:50

从来没去过

kuing

从来没去过
石崇的BOSS 发表于 2009-8-14 20:45

难怪

可惜