一道积分题，求其一般解法和复变解法

Ludwig1994 · 发表于 2012-6-20 20:28:50

本帖最后由 Ludwig1994 于 2012-6-21 22:07 编辑

$\int ln(x^2+1)dx$

castelu · 发表于 2012-6-20 20:34:29

一般解法：
令$x=\tan t$，
$$\int \ln (x^2+1){\rm d}x$$
$$=\int \ln (\sec^2 t){\rm d} \tan t$$
$$=\tan t \ln \sec^2 t-2 \int \tan^2 t{\rm d}t$$
$$=\tan t \ln \sec^2 t-2 \int (sec^2-1){\rm d}t$$
$$=\tan t \ln \sec^2 t-2 \tan t+2t+C$$

将$t=\arctan x$代回，得到：
$$\tan t \ln \sec^2 t-2\tan t+2t+C$$
$$=x\ln (x^2+1)-2x+2\tan x+C$$

Ludwig1994 · 发表于 2012-6-21 23:00:11

将卡斯先生的解题整理得到这个

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