平面解析几何问题

极光

已知$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是抛物线$y^2=2px(p>0)$上两点，抛物线焦点为$F$。
（1）若$x_1=5$，求$AF$。
（2）若$AF+BF=10$，求$AB$中点到$y$轴距离。

zhangyuong

首先有焦点的坐标$F(\frac{p}{2},0)$，设准线为$l$，$O$为坐标原点，记抛物线上任意一点$X$到准线距离为$d(X)$
(1)由抛物线的定义有：$AF=d(A)=x_1+\frac{p}{2}=5+\frac{p}{2}$
(2)分别设$A,B$于抛物线准线的垂足为$C,D$，$AB$中点为M，且其到抛物线的垂足为$N$
那么由梯形中位线有：$d(N)=\frac{AF+BF}{2}=5$
而$M$到$y$轴距离$=d(N)-\frac{p}{2}$
从而$M$到$y$轴距离为$5-\frac{p}{2}$

极光

谢谢高手{:G01:}