函数最值与不等式

极光

已知函数$f(x)=e^x-\ln(x+1)$
（1）求函数$f(x)$的最小值。
（2）已知$0 \le x_1<x_2$，求证：$e^{x_2-x_1}>1+\ln(\frac{x_2+1}{x_1+1})$。

jun

1.求得导数[tex]\frac{df}{dx}=e^x - \frac{1}{x+1}[/tex] 。让导数等于0解得到x=0。或者通过观察，当x=0的时候导数等于0，然后画函数图象得出x=0时为函数最小值。

jun

(2) 在[tex]x \geq 0[/tex]的时候，带入 [tex]x_2 - x_1 = t \geq 0[/tex], 那么RHS得到 [tex]1+ \ln (1 + \frac{t}{x1+1} ) [/tex]。当[tex]t=0[/tex]的时候 [tex]e^t = 1 = 1+ \ln (1 + \frac{t}{x1+1}) [/tex]。因为[tex]x_1 >0 [/tex], 坐式的导数为[tex]e^t[/tex], 右式导数为 [tex]\frac{1}{1+x_1+t}[/tex],当[tex]t>0[/tex]的时候，[tex]e^t > \frac{1}{1+x_1+t}\geq 0 [/tex]。所以左式恒大于右式。

极光

多谢高手啊