[几何]我们的竞赛题

zhangyuong · 发表于 2008-3-2 10:13:54

我觉得图形太恶心

如图ΔABC是正Δ，一直径与此三角形高相等的圆与Δ的两边AB，BC切于D，E两点
交AC于G，F，连接DF，DE，EF
求角DEF的度数

kuing · 发表于 2008-3-2 13:13:33

呃，竞赛题这么容易了？

castelu · 发表于 2008-3-2 18:40:19

连接OD
角ADO为90度,角A为60度
则角DOA为30度
角DEF所在的弧为210度
角DEF为105度

kuing · 发表于 2008-3-2 23:27:43

这个题目并没有说O在AC上，这是要证明的。

castelu · 发表于 2008-3-3 21:35:11

确实，我没有注意细节

朽木残月 · 发表于 2008-3-4 21:06:18

设圆心为O,连OD,OE,可知DOE=120度，因为OD,OE为半径，所以OD=OE=四分之根号三AB，所以DE等于四分之三AB，因为B=60度，所以BD=DE=四分之三AB,所以AD等于四分之一AB，所以OA等于2倍的AD=二分之AB，因为OA+OC等于AB，所以O在AB上，剩下的和3L一样

castelu · 发表于 2008-3-4 21:08:13

纠正一下,O在AC上

朽木残月 · 发表于 2008-3-4 22:35:18

谢谢LS哦，我半年多没做平面几何题了，以为不会了呢，没想到还有灵感！哈哈！

castelu · 发表于 2008-3-5 18:58:14

呵呵，你考虑的比我全面哦

zhangyuong · 发表于 2008-3-5 21:58:37

我提供一种我的证法
作圆的圆心I，连ID，IE，IB，作正Δ BC上的高FH
则ID=IE=R，易得B，D，I，E四点共圆，
又由切线长定理可知ΔBDE是正Δ，运用Ptolemy定理有
BI=2R，下面再证BI垂直于AC
显然BD²-BE²=ID²-IE²
因此BI垂直DE,又DE平行AC,所以BI垂直于AC
因此BI是三角形FBC CF边上的高
因此I是CF中点,下面的略

castelu · 发表于 2008-3-5 22:02:29

略麻烦,但想法值得鼓励

朽木残月 · 发表于 2008-3-6 23:05:50

都做得比我强！值得学习！

帐号		自动登录	找回密码
密码			注册

[已解决] [几何]我们的竞赛题

回复 3# 的帖子

很简单