裴礼文 一元积分学 434页 练习4.5.7 解答

castelu

练习4.5.7：

　　研究下列积分的收敛性：
（1）
$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx（n为自然数）$$
（2）
$$\int_0^{+\infty}\sin^2\left[\pi\left(x+\frac{1}{x}\right)\right]dx$$

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解：
（1）
$$\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx&=&\int_{-\infty}^{-1}x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx\\
&+&\int_{-1}^0x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx\\
&+&\int_0^1x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx\\
&+&\int_1^{+\infty}x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx\\
&=&I_1+I_2+I_3+I_4
\end{eqnarray*}$$
　　对于$I_1$和$I_4$，由
$$\left|x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\right|\le|x|^ne^{-|x|^2}, \lim\limits_{|x| \to \infty}\frac{|x|^ne^{-|x|^2}}{\frac{1}{|x|^2}}=\lim\limits_{t \to +\infty}\frac{t^{n+2}}{e^{t^2}}=0$$
　　及比较判别法即知$I_1$和$I_4$绝对收敛。
　　而对于$I_2$和$I_3$，由
$$\lim\limits_{x \to 0}x^ne^{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}=0$$
　　知被积函数延拓定义$x=0$后在$[-1,1]$上连续
　　综上所述，原反常积分绝对收敛。
（2）令
$$f(x)=x+\frac{1}{x}, f^{-1}(y)=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}, x \ge 1, y \ge 2$$
　　则对$\forall k \in N$，取
$$A_k=f^{-1}\left(2k+\frac{1}{4}\right), B_k=f^{-1}\left(2k+\frac{3}{4}\right)$$
　　有
$$A_k \le x \le B_k$$
　　从而
$$2k+\frac{1}{4} \le f(x) \le 2k+\frac{3}{4}$$
　　也即
$$\sin^2\left[\pi\left(x+\frac{1}{x}\right)\right] \ge \frac{1}{2}$$
$$\begin{eqnarray*}
\int_{A_k}^{B_k}\sin^2\left[\pi\left(x+\frac{1}{x}\right)\right]dx&\ge&\frac{1}{2}(B_k-A_k)\\
&=&\frac{1}{2}[f^{-1}(z_k)-f^{-1}(y_k)]\left(令z_k=2k+\frac{3}{4}, y_k=2k+\frac{1}{4}\right)\\
&=&\frac{1}{4}\left[z_k-y_k+\sqrt{z_k^2-4}-\sqrt{y_k^2-4}\right]\\
&\ge&\frac{1}{4}(z_k-y_k)\\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}$$
　　由$A_k \to \infty(k \to \infty)$及$Cauchy$收敛准则即知原积分发散。