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[已解决] 蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四13 解答

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楼主
发表于 2016-6-12 19:13:38 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
习题四13:
  设$V$是数域$K$上的$n(n \ge 2)$维线性空间。$A,B$是$V$内两个线性变换,在$V$的基$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$下的矩阵分别是$A,A^*$($A$的伴随矩阵)。
(1)证明$AB=BA$;
(2)设零是$A$的特征值,求下面子空间
$$M=\left\{\alpha \in V|B\alpha=0\right\}$$
  的维数和一组基。



解:
(1)$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下的矩阵为$A$,即
$$A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A$$
  $B$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下的矩阵为$A^*$,即
$$B(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(B\epsilon_1,B\epsilon_2,\cdots,B\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A^*$$
  那么
$$AB(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=A(B\epsilon_1,B\epsilon_2,\cdots,B\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)AA^*$$
  故$AB$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下的矩阵为$AA^*$
$$BA(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=B(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A^*A$$
  故$BA$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下的矩阵为$A^*A$
  由于
$$AA^*=A^*A=|A|E$$
  所以
$$AB=BA$$
(2)由《蓝以中上册 行列式 208页 习题二6 解答》
$$r(A^*)=\left\{ \begin{array}{l}
n, 当r(A)=n\\
1, 当r(A)=n-1\\
0, 当r(A)<n-1
\end{array} \right.$$
  设$A$的特征多项式为
$$f(\lambda)=|\lambda E-A|$$
  对应的特征值为
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$$
  一方面,行列式展开得到
$$|\lambda E-A|=\lambda^n-{\rm Tr}(A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|$$
  另一方面,根据$Vieta$定理
$$\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=(-1)^{2n}|A|=|A|$$
  由于零是$A$的特征值
  所以$|A|=0$,进而$r(A)<n$
  当$r(A)=n-1$时,$r(A^*)=1$,这时
$$\dim M=n-r(A^*)=n-1$$
  由于
$$BA=O$$
  所以$A$的列向量属于$B$的解空间
  取$A$列向量的一个极大无关组
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_{n-1}$$
  它就是$M$的一组基
  当$r(A)<n-1$时,$r(A^*)=0$,这时
$$\dim M=n-r(A^*)=n$$
  于是,$V$的基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  就是$M$的一组基。
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