蓝以中上册 线性空间与线性变换 297页 习题三14 解答

castelu

习题三14：
　　设$A$与$B$是两个线性变换，且$AB-BA=E$。证明：对任一正整数$k$，有
$$A^kB-BA^k=kA^{k-1}$$

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解：
　　数学归纳法
　　当$k=2$时
$$\begin{eqnarray*}
A^2B-BA^2&=&A^2B-ABA+ABA-BA^2\\
&=&A(AB-BA)+(AB-BA)A\\
&=&AE+EA\\
&=&2A
\end{eqnarray*}$$
　　结论成立
　　假设当$k=m$时结论成立，即有
$$A^mB-BA^m=mA^{m-1}$$
　　则
　　当$k=m+1$时，有
$$\begin{eqnarray*}
A^{m+1}B-BA^{m+1}&=&A^{m+1}B-A^mBA+A^mBA-BA^{m+1}\\
&=&A^m(AB-BA)+(A^mB-BA^m)A\\
&=&A^mE+mA^{m-1}A\\
&=&(m+1)A^m
\end{eqnarray*}$$
　　即$k=m+1$时结论也成立，故对一切$k>1$结论成立。