蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四26 解答

castelu

习题四26：
　　设$A$是数域$K$上的$n$维线性空间$V$内的一个线性变换。如果存在$V$内非零向量$\alpha$，使$A\alpha=0$，令$M=L(\alpha)$。如果$A$在$V/M$内的诱导变换可逆，且其矩阵（在$V/M$内）可对角化。证明$A$在$V$内其矩阵也可对角化。

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解：
　　根据《蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四14 解答》
　　存在$K$内不同的数
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
　　使诱导变换$A$满足
$$(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)=0$$
　　从该题的题解中已知
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
　　应取为$A$在$V/M$内的特征值，而$A$在$V/M$内可逆，故
$$\lambda_i \ne 0(i=1,2,\cdots,k)$$
　　对任意$\beta \in V$，在$V/M$内有
$$\begin{eqnarray*}
&&(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)(\beta+M)\\
&=&(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)\beta+M\\
&=&0+M
\end{eqnarray*}$$
　　从而
$$(A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_kE)\beta \in M$$
　　于是
$$(A-0E)(A-\lambda_1E)\cdots(A-\lambda_kE)\beta=0$$
　　上式表示，在$V$内
$$(A-0E)(A-\lambda_1E)\cdots(A-\lambda_kE)=0$$
　　再根据《蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四14 解答》
　　$A$在$V$内矩阵可对角化。