蓝以中下册 一元多项式环 164页 习题一22 解答

castelu

习题一22：
　　证明：如果
$$(x^2+x+1)|(f_1(x^3)+xf_2(x^3))$$
　　那么
$$(x-1)|f_1(x),(x-1)|f_2(x)$$

---

解：
　　因为
$$x^2+x+1$$
　　的两个根为
$$x_1=\frac{-1+\sqrt 3i}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt 3i}{2}$$
　　所以$x_1$和$x_2$也是
$$f_1(x^3)+xf_2(x^3)$$
　　的根，并且有
$$x_1^3=x_2^3=1$$
　　所以有
$$\left\{ \begin{array}{l}
f_1(1)+x_1f_2(1)=0\\
f_1(1)+x_2f_2(1)=0
\end{array} \right.$$
　　解方程组得
$$f_1(1)=0,f_2(1)=0$$
　　故
$$(x-1)|f_1(x),(x-1)|f_2(x)$$