蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一32 解答

castelu

习题一32：
　　如果
$$f'(x)|f(x)$$
　　证明：$f(x)$有$n$重根，其中$n=\deg f(x)$。

---

解：
　　设
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$$
　　是$f'(x)$的不同根，而且设他们的重数分别为
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$$
　　由于$f'(x)$是$n-1$次多项式，所以
$$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_s=n-1$$
　　又可知
$$f'(x)|f(x)$$
　　故
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$$
　　分别为$f(x)$的
$$\lambda_1+1,\lambda_2+2,\cdots,\lambda_s+1$$
　　重根，但
$$(\lambda_1+1)+(\lambda_2+1)+\cdots+(\lambda_s+1)=n$$
　　将
$$\lambda_1+1,\lambda_2+2,\cdots,\lambda_s+1$$
　　代入
$$(\lambda_1+1)+(\lambda_2+1)+\cdots+(\lambda_s+1)=n$$
　　有
$$n-1+s=n,s=1$$
　　即$f'(x)$只能有根$\alpha_1$，且重数为$\lambda_1=n-1$，所以$f(x)$有$n$重根$\alpha_1$。