函数的连续性

castelu

定义　设函数$f$在某$U^\circ \left( x_0 \right)$内有定义。若
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = f\left( x_0 \right)，$$
　　则称$f$在点$x_0$连续。
　　为引入函数$y=f\left( x \right)$在点$x_0$连续的另一种表述，记$\Delta x = x - x_0$，称为自变量$x$（在点$x_0$）的增量或改变量。设$y_0=f\left( x_0 \right)$，相应的函数$y$（在点$x_0$）的增量记为
$$\Delta y = f\left( x \right) - f\left( x_0 \right) = f\left( x_0 + \Delta x \right) - f\left( x_0 \right) = y - y_0。$$

注　自变量的增量$\Delta x$或函数的增量$\Delta y$可以是正数，也可以是$0$或负数。
　　引进了增量的概念之后，易见“函数$y=f\left( x \right)$在点$x_0$连续”等价于
$$\lim\limits_{\Delta \rightarrow 0}\Delta y = 0。$$
　　由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用$\epsilon - \delta$方式来叙述，即：若对任给的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$\left| x - x_0 \right| < \delta$时有
$$\left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon，$$
　　则称函数$f$在点$x_0$连续。
　　若函数$f$在区间$I$上的每一点都连续，则称$f$为$I$上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。