间断点

castelu

定义　设函数$f$在某$U^\circ \left( x_0 \right)$内有定义。若$f$在点$x_0$无定义，或$f$在点$x_0$有定义而不连续，则称点$x_0$为函数$f$的间断点或不连续点。
　　按此定义以及关于极限与连续性之间联系的讨论，若$x_0$为函数$f$的间断点，则必出现下列情形之一：
（i）$f$在点$x_0$无定义或极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$不存在；
（ii）$f$在点$x_0$有定义且极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$存在，但$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) \ne f\left( x_0 \right)$。
　　据此，我们对函数的间断点作如下分类：
1、可去间断点　若
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = A，$$
而$f$在点$x_0$无定义，或有定义但$f\left( x_0 \right) \ne A$，则称$x_0$为$f$的可去间断点。
2、跳跃间断点　若函数$f$在点$x_0$的左、右极限都存在，但
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f\left( x \right) \ne \lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f\left( x \right)，$$
　　则称点$x_0$为函数$f$的跳跃间断点。
　　可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在。
3、第二类间断点　函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点。