Cauchy中值定理

castelu

定理（Cauchy中值定理）　设函数$f$和$g$满足
（i）在$[a,b]$上都连续；
（ii）在$(a,b)$内都可导；
（iii）$f'(x)$和$g'(x)$不同时为零；
（iv）$g(a) \ne g(b)$，
　　则存在$\xi \in (a,b)$，使得
$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}。$$
　　Cauchy中值定理有着与Rolle中值定理和Largrange中值定理相类似的几何意义。只是现在要把$f$，$g$这两个函数写作以$x$为参量的参量方程
$$\left\{ \begin{array}{l} u=g(x)\\ v=f(x)\end{array} \right.$$
　　在$uOv$平面上表示一段曲线。由于上式右边的$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$表示连接该曲线两端的弦的斜率，而上式左边的
$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{dv}{du}|_{x = \xi}$$
　　则表示该曲线上与$x = \xi$相对应的一点$(g(\xi),f(\xi)))$处的切线的斜率。因此上式即表示上述切线与弦互相平行。