L'Hospital法则

castelu

　　两个无穷小（大）量之比的极限，可能存在，也可能不存在，我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记录为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达（L'Hospital）法则。

1、$\frac{0}{0}$型不定式极限

定理（L'Hospital法则I）　若函数$f$和$g$满足：
（i）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=0$；
（ii）在点$x_0$的某空心邻域$U^\circ (x_0)$内两者都可导，且$g'(x) \ne 0$；
（iii）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$（$A$可为实数，也可为$\pm \infty$或$\infty$），
　　则
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A。$$

注意　若将定理中$x$换成$x \to x_0^+$，$x \to x_0^-$，$x \to \pm \infty$，$x \to \infty$，只要相应地修正条件（ii）中的邻域，也可得到同样的结论。

　　如果$f'$、$g'$、$f''$、$g''$满足条件，我们可以再次应用L'Hospital法则I。

2、$\frac{\infty}{\infty}$型不定式极限

定理（L'Hospital法则II）　若函数$f$和$g$满足：
（i）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}g(x)= \infty$；
（ii）在点$x_0$的某右邻域$U_+^\circ (x_0)$内两者都可导，且$g'(x) \ne 0$；
（iii）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$（$A$可为实数，也可为$\pm \infty$或$\infty$），
　　则
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A。$$

注意　若将定理中$x$换成$x \to x_0^-$，$x \to x_0$，$x \to \pm \infty$，$x \to \infty$，只要相应地修正条件（ii）中的邻域，也可得到同样的结论。

　　如果$f'$、$g'$、$f''$、$g''$满足条件，我们可以再次应用L'Hospital法则II。