函数的凸性

castelu

定义　设$f$为定义在区间$I$上的函数，若对$I$上的任意两点$x_1$，$x_2$和任意实数$\lambda \in (0,1)$总有
$$f(\lambda x_1 +(1- \lambda x_2) \le \lambda f(x_1) +(1- \lambda)f(x_2)，$$
　　则称$f$为$I$上的凸函数。反之，如果总有
$$f(\lambda x_1 +(1- \lambda x_2) \ge \lambda f(x_1) +(1- \lambda)f(x_2)，$$
　　则称$f$为$I$上的凹函数。
　　如果上式中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。

引理　$f$为$I$上的凸函数的充要条件是：对于$I$上的任意三点$x_1<x_2<x_3$，总有
$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}。$$

定理1　设$f$为区间$I$上的可导函数，则下述论断互相等价：
（1）$f$为$I$上凸函数；
（2）$f'$为$I$上的增函数；
（3）对$I$上的任意两点$x_1$，$x_2$，有
$$f(x_2) \ge f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)。$$

注意　论断（3）的几何意义是：曲线$y=f(x)$总是在它的任一切线的上方。这是可导凸函数的几何特征。
　　对于凹函数，同样有类似于定理1的结论。

定理2　设$f$为区间$I$上的二阶可导函数，则在$I$上$f$为凸（凹）函数的充要条件是
$$f''(x) \ge 0（f''(x) \le 0），x \in I。$$