Darboux和

castelu

　　设$T=\left\{\Delta_i|i=1,2,\cdots,n \right\}$为对$[a,b]$的任一分割。由$f$在$[a,b]$上有界，它在每一个$\Delta_i$上存在上、下确界：
$$M_i=\sup\limits_{x \in \Delta_i}f(x)，m_i=\inf\limits_{x \in \Delta_i}f(x)，i=1,2,\cdots,n。$$
　　作和
$$S(T)=\sum\limits_{i=1}^nM_i \Delta x_i，s(T)=\sum\limits_{i=1}^nm_i \Delta x_i，$$
　　分别称为$f$关于分割$T$的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称为达布和）。任给$\xi_i \in \Delta_i$，$i=1,2,\cdots,n$，显然有
$$S(T) \le \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i) \Delta x_i \le S(T)。$$
　　与积分和相比较，Darboux和只与分割Ｔ有关，而与点集${\xi_i}$无关。由不等式，就能通过讨论上和与下和当$||T||\ to 0$时的极限来揭示$f$在$[a,b]$上是否可积。所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。

性质1　对同一个分隔$T$，相对于任何点集${\xi_i}$而言，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界。即
$$S(T)=\sup\limits_{|\xi_i|} \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i) \Delta x_i，s(T)=\inf\limits_{|\xi_i|} \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i) \Delta x_i。$$

性质2　设$T'$为分割$T$添加$p$个新分点后所得到的分割，则有
$$S(T) \ge S(T') \ge S(T)-(M-m)p||T||，$$
$$s(T) \le s(T') \le s(T)+(M+m)p||T||。$$
　　这个性质指出：增加分点后，上和不增，下和不减。

性质3　若$T'$与$T''$为任意两个分割，$T=T'+T''$表示把$T'$与$T''$的所有分点合并而得的分割（注意：重复的分点只取一次），则
$$S(T) \le S(T')，s(T) \ge s(T')，$$
$$S(T) \le S(T'')，s(T) \ge s(T'')。$$

性质4　对任意两个分割$T'$与$T''$，总有
$$s(T') \le S(T'')。$$

　　这个性质指出：在对$[a,b]$所作的任意两个分割中，一个分割的下和总不大于另一个分割的上和。因此对所有分割来说，所有下和有上界，所有上和有下界，从而分别存在上确界与下确界，把它们记作
$$S=\inf\limits_{T}S(T)，s=\sup\limits_{T}s(T)。$$
　　通常称$S$为$f$在$[a,b]$上的上积分，$s$为$f$在$[a,b]$上的下积分。

性质5　$m(b-a) \le s \le S \le M(b-a)$。

性质6（Darboux定理）　上、下积分也是上和与下和在$||T|| \to 0$时的极限，即
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}S(T)=S，\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}s(T)=s。$$