反常积分

castelu

定义1　设函数$f$定义在无穷区间$[a,+\infty)$上，且在任何有限区间$[a,u]$上可积。如果存在极限
$$\lim\limits_{u \rightarrow +\infty} \int_a^u f(x)dx=J，$$
　　则称此极限$J$为函数$f$在$[a,+\infty)$上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作
$$J=\int_a^{+\infty} f(x)dx，$$
　　并称$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛。如果极限不存在，为方便起见，亦称$\int_a^{+\infty} f(x)dx$发散。

　　类似地，可定义$f$在$(-\infty,b]$上的无穷积分：
$$\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim\limits_{u \rightarrow -\infty} \int_u^b f(x)dx。$$
　　对于$f$在$(-\infty,+\infty)$上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^a f(x)dx=\int_a^{+\infty} f(x)dx，$$
　　其中$a$为任一常数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的。

注1　无穷积分的收敛性与收敛时的值，都和实数$a$的选取无关。

注2　由于无穷积分是由两类无穷积分来定义的，因此，$f$在任何有限区间$[v,u] \subset (-\infty,+\infty)$上，首先必须是可积的。

注3　$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛的几何意义是：若$f$在$[a,+\infty)$上为非负连续函数，则介于曲线$y=f(x)$，直线$x=a$以及$x$轴之间那一块向右无限延伸的区域有面积$J$。

　　可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。

性质1　若$\int_a^{+\infty} f_1(x)dx$与$\int_a^{+\infty} f_2(x)dx$都收敛，$k_1$、$k_2$为任意常数，则$\int_a^{+\infty} [k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx$也收敛，且
$$\int_a^{+\infty} [k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1 \int_a^{+\infty} f_1(x)dx+k_2 \int_a^{+\infty} f_2(x)dx。$$

性质2　若$f$在任何有限区间$[a,u]$上可积，$a<b$，则$\int_a^{+\infty} f(x)dx$与$\int_b^{+\infty} f(x)dx$同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
$$\int_a^{+\infty} f(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_b^{+\infty} f(x)dx，$$
　　其中右边第一项是定积分。

　　性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛的另一充要条件：任给$\epsilon>0$，存在$G \ge a$，当$u>G$时，总有
$$|\int_u^{+\infty} f(x)dx|< \epsilon。$$
　　事实上，这可由
$$\int_a^{+\infty} f(x)dx=\int_a^u f(x)dx+\int_u^{+\infty} f(x)dx$$
　　结合无穷积分的收敛定义而得。

性质3　若$f$在任何有限区间$[a,u]$上可积，且有$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛，则$\int_a^{+\infty} f(x)dx$亦必收敛，并有
$$|\int_a^{+\infty} f(x)dx| \le \int_a^{+\infty} |f(x)|dx。$$
　　当$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛时，称$\int_a^{+\infty} f(x)dx$为绝对收敛。性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛。但是它的逆命题一般不成立。
　　我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。

定义2　设函数$f$定义在区间$(a,b]$上，在点$a$的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间$[u,b] \subset (a,b]$上有界且可积。如果存在极限
$$\lim\limits_{u \rightarrow a^+} \int_u^b f(x)dx=J，$$
　　则称此极限为无界函数$f$在$(a,b]$上的反常积分，记作
$$J=\int_a^b f(x)dx，$$
　　并称反常积分$\int_a^b f(x)dx$收敛。如果极限不存在，这时也说反常积分$\int_a^b f(x)dx$发散。

　　在定义2中，被积函数$f$在点$a$近旁是无界的，这时点$a$称为$f$的瑕点，而无界函数反常积分$\int_a^b f(x)dx$又称为瑕积分。
　　类似地，可定义瑕点为$b$时的瑕积分：
$$\int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{u \rightarrow b^-} \int_a^u f(x)dx。$$
　　其中$f$在$[a,b)$有定义，在点$b$的任一左邻域内无界，但在任何$[a,u] \subset [a,b)$上可积。
　　若$f$的瑕点$c \in (a,b)$，则定义瑕积分
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$$
$$=\lim\limits_{u \rightarrow c^-} \int_a^u f(x)dx+\lim\limits_{v \rightarrow c^+} \int_v^b f(x)dx。$$
　　其中$f$在$[a,c) \cup (c,b]$上有定义，在点$c$的任一邻域内无界，但在任何$[a,u] \subset [a,c)$和$[v,b] \subset (c,b]$上都可积。当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。
　　又若$a$、$b$两点都是$f$的瑕点，而$f$在任何$[u,v] \subset (a,b)$上可积，这时定义瑕积分
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$$
$$=\lim\limits_{u \rightarrow a^+} \int_u^c f(x)dx+\lim\limits_{v \rightarrow b^-} \int_c^v f(x)dx，$$
　　其中$c$为$(a,b)$内任一实数。同样地，当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。
　　类似于无穷积分的三个性质，瑕积分同样可写出相应的命题。

性质1　设函数$f_1$与$f_2$的瑕点同为$x=a$，$k_1$、$k_2$为常数，则当瑕积分$\int_a^b f_1(x)dx$与$\int_a^b f_2(x)dx$都收敛时，瑕积分$\int_a^b [k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx$必定收敛，并有
$$\int_a^b [k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1 \int_a^b f_1(x)dx+k_2 \int_a^b f_2(x)dx。$$

性质2　设函数$f$的瑕点为$x=a$，$c \in (a,b)$为任一常数。则瑕积分$\int_a^b f(x)dx$与$\int_a^c f(x)dx$同敛态，并有
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx，$$
　　其中$\int_c^b f(x)dx$为定积分。

性质3　设函数$f$的瑕点为$x=a$，$f$在$(a,b]$的任一内闭区间$[u,b]$上可积。则当$\int_a^b |f(x)|dx$收敛时，$\int_a^b f(x)dx$也必定收敛，并有
$$|\int_a^b f(x)dx| \le \int_a^b |f(x)|dx。$$
　　同样地，当$\int_a^b |f(x)|dx$收敛时，称$\int_a^b f(x)dx$为绝对收敛。又称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛的。