函数列

castelu

　　设
$$f_1，f_2，\cdots，f_n，\cdots$$
　　是一列定义在同一数集$E$上的函数，称为定义在$E$上的函数列。也可简单地写作：
$$\left\{f_n \right\}或f_n，n=1,2,\cdots。$$
　　设$x_0 \in E$，以$x_0$代入可得数列
$$f_1(x_0)，f_2(x_0)，\cdots，f_n(x_0)，\cdots。$$
　　若数列收敛，则称函数列在点$x_0$收敛，$x_0$称为函数列的收敛点。若数列发散，则称函数列在点$x_0$发散。若函数列在数集$D \subset E$上每一点都收敛，则称在数集$D$上收敛。这时$D$上每一点$x$，都有数列${f_n(x)}$的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的$D$上的函数，称为函数列的极限函数。若把此极限函数记作$f$，则有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)，x \in D$$
　　或
$$f_n(x) \to f(x)(n \to \infty)，x \in D。$$
　　函数列极限的$\epsilon-N$定义是：对每一固定的$x \in D$，任给正数$\epsilon$，恒存在正数$N$（注意：一般说来$N$值的确定与$\epsilon$和$x$的值都有关，所以也用$N(\epsilon,x)$表示它们之间的依赖关系），使得当$n>N$时。总有
$$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon。$$
　　使函数列$\left\{f_n \right\}$收敛的全体收敛点集合，称为函数列$\left\{f_n \right\}$的收敛域。
　　对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性。又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些问题的讨论，只要求函数列在数集$D$上的收敛是不够的，必须对它在$D$上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题。

定义　设函数列${f_n}$与函数$f$定义在同一数集$D$上，若对任给的正数$\epsilon$，总存在某一正整数$N$，使得当$n>N$时，对一切$x \in D$，都有
$$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon，$$
　　则称函数列${f_n}$在$D$上一致收敛于$f$，记作
$$f_n(x) => f(x)(n \to \infty)，x \in D。$$

　　由定义看到，如果函数列${f_n}$在$D$上一致收敛，那么对于所给的$\epsilon$，不管$D$上哪一点$x$，总存在公共的$N(\epsilon)$（即$N$的选取仅与$\epsilon$有关，与$x$的取值无关），只要$n>N$，都有
$$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon。$$
　　由此看到函数列${f_n}$在$D$上一致收敛，必在$D$上每一点都收敛。反之，在$D$上每一点都收敛的函数列${f_n}$，在$D$上不一定一致收敛。
　　函数列一致收敛于$f$，从几何意义上讲：对任何正数$\epsilon$，存在正整数$N$，对于一切序号大于$N$的曲线$y=f_n(x)$，都落在以曲线$y=f(x)+\epsilon$与$y=f(x)-\epsilon$为边（即以曲线$y=f(x)$为“中心线”，宽度为$2\epsilon$）的带形区域内。

定理1（函数列一致收敛的Cauchy准则）　函数列${f_n}$在数集$D$上一致收敛的充要条件是：对任给正数$\epsilon$，总存在正数$N$，使得当$n$，$m>N$时，对一切$x \in D$。都有
$$|f_n(x)-f_m(x)|< \epsilon。$$

　　根据一致收敛定义可推出下述定理：

定理2　函数列${f_n}$在区间$D$上一致收敛于$f$的充要条件是：
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in D}|f_n(x)-f(x)|=0。$$