Taylor级数

castelu

　　Taylor定理中曾指出，若函数$f$在点$x_0$的某邻域内存在直至$n+1$阶的连续导数，则
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)，$$
　　这里$R_n(x)$为Largrange型余项
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，$$
　　其中$\xi$在$x$与$x_0$之间，称上式为$f$在$x_0$的Taylor公式。
　　如果在上式中抹去余项$R_n(x)$，那么在$x_0$附近$f$可用上式右边的多项式来近似代替，如果函数$f$在$x=x_0$处存在任意阶的导数，这时称形式为
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$$
　　的级数为函数$f$在$x_0$的Taylor级数。

定理　设$f$在点$x_0$具有任意阶导数，那么$f$在区间$(x_0-r,x_0+r)$内等于它的Taylor级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式$|x-x_0|<r$的$x$，有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0，$$
　　这里$R_n(x)$是$f$在$x_0$的Taylor公式余项。
　　如果$f$能在$x_0$的某邻域上等于其Taylor级数的和函数，则称函数$f$在$x_0$的这一邻域内可以展开成Taylor级数，并称等式
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$$
　　的右边为$f$在$x=x_0$处的Taylor展开式，或称幂级数展开式。
　　由级数的逐项求导性质可推得：若$f$为幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n$在收敛区间$(-R,R)$上的和函数，则$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n$就是$f$在$(-R,R)$上的Taylor展开式，这是幂级数展开的惟一性问题。
　　在实际应用上，主要讨论函数在$x_0=0$处的展开式，这时上式可以写作
$$f(x)=f(0)+\frac{f'(x_0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots，$$
　　称为Maclaurin级数。