平面点集

castelu

　　由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对$(x,y)$与平面上所有的点之间建立了一一对应。因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的。这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面。
　　坐标平面上满足某种条件$P$的点的集合，称为平面点集，并记作
$$E=\left\{(x,y)|(x,y)满足条件P \right\}。$$
　　例如全平面上的点所组成的点集是
$$R^2=\left\{(x,y)|-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty \right\}。$$
　　平面上以原点为中心，$r$为半径的圆内所有的点的集合是
$$C=\left\{(x,y)|x^2+y^2<r^2 \right\}。$$
　　而集合
$$S=\left\{(x,y)|a \le x \le b,c \le y \le d \right\}$$
　　则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作$[a,b] \times [c,d]$。
　　平面点集
$$\left\{(x,y)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2 \right\}$$
　　与
$$\left\{(x,y)||x-x_0|<\delta,|y-y_0|<\delta \right\}$$
　　分别称为以点$A(x_0,y_0)$为中心的$\delta$圆邻域与$\delta$方邻域。
　　由于点$A$的任一圆邻域可以包含在点$A$的某一方邻域之内（反之亦然），因此通常用“点$A$的$\delta$邻域”或“点$A$的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号$U(A;\delta)$或$U(A)$来表示。点$A$的空心邻域是指
$$\left\{(x,y)|0<(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2 \right\}$$
　　或
$$\left\{(x,y)||x-x_0|<\delta,|y-y_0|<\delta,(x,y) \ne (x_0,y_0) \right\}$$
　　并用记号$U^*(A;\delta)$或$U^*(A)$来表示。
　　下面利用邻域来描述点和点集之间的关系。
　　任意一点$A \in R^2$与任意一个点集$E \subset R^2$之间必有以下三种关系之一：
（i）内点——若存在点$A$的某邻域$U(A)$，使得$U(A) \subset E$，则称点$A$是点$E$的内点；$E$的全体内点构成的集合称为$E$的内部，记作${\rm int} E$。
（ii）外点——若存在点$A$的某邻域$U(A)$，使得$U(A) \cap E=\emptyset$，则称$A$是点集$E$的外点。
（iii）界点——若在点$A$的任何邻域内既含有属于$E$的点，又含有不属于$E$的点，则称$A$是集合$E$的界点。即对任何正数$\delta$，恒有
$U(A;\delta) \cap E \ne \emptyset$且$U(A;\delta) \cap CE \ne \emptyset$，
其中$CE=R^2 \backslash E$是$E$关于全平面的余集，$E$的全体界点构成$E$的边界，记作$\partial E$。
　　$E$的内点必定属于$E$；$E$的外点必定不属于$E$；$E$的界点可能属于$E$，也可能不属于$E$。
　　点$A$与点集$E$的上述关系是按“点$A$在$E$内或在$E$外”来区分的。此外，还可按在点$A$的近旁是否密集着$E$中无穷多个点而构成另一类关系：
（i）聚点——若在点$A$的任何空心邻域$U^*(A)$内都含有$E$中的点，则称$A$是$E$的聚点，聚点本身可能属于$E$，也可能不属于$E$。
（ii）孤立点——若点$A \in E$，但不是$E$的聚点，即存在某一正数$\delta$，使得$U^*(A;\delta) \cap E = \emptyset$，则称点$A$是$E$的孤立点。
　　显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点。
　　根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集。
　　开集——若平面点集所属的每一点都是$E$的内点（即${\rm int} E=E$），则称$E$为开集。
　　闭集——若平面点集$E$的所有聚点都属于$E$，则称$E$为闭集。若点集$E$没有聚点，这时也称$E$为闭集。
　　开域——若非空开集$E$具有连通性，即$E$中任意两点之间都可用一条完全含于$E$的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称$E$为开域（或称连通开集）。
　　闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域。
　　区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域。
　　在区域$D$上任意两点的连线都含于$D$，则称$D$为凸区域。这就是说，若$D$为凸区域，则对任意两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2) \in D$和一切$\lambda$（$0 \le \lambda \le 1$），恒有
$$P(x_1+\lambda(x_2-x_1),y_1+\lambda(y_2-y_1)) \in D。$$
　　有界点集——对于平面点集$E$，若存在某一正数$r$，使得
$$E \subset U(O;r)，$$
　　其中$O$是坐标原点（也可以是其他固定点），则称$E$是有界点集。否则就是无界点集。
　　$E$为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域$D=[a,b] \times [c,d] \supset E$。
　　点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集$E$的直径，就是
$$d(E)=\sup\limits_{P_1,P_2 \in E} \rho(P_1,P_2)，$$
　　其中$\rho(P_1,P_2)$表示$P_1$与$P_2$两点之间的距离，当$P_1$、$P_2$的坐标分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，则
$$\rho(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}。$$
　　于是，当且仅当$d(E)$为有限值时$E$是有界点集。
　　根据距离的概念，不难证明如下三角形不等式，即对$R^2$上任何三点$P_1$、$P_2$和$P_3$，皆有
$$\rho(P_1,P_2) \le \rho(P_1,P_3)+\rho(P_2,P_3)。$$