R²上的完备性定理

castelu

定义　设$\left\{P_n \right\} \subset R^2$为平面点列，$P_0 \in R^2$为一固定点。若对任给的正数$\epsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$P_n \in U(P_0;\epsilon)$，则称点列$\left\{P_n \right\}$收敛于点$P_0$，记作
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P_n=P_0或P_n \to P_0，n \to \infty。$$

　　在坐标平面中，以$(x_n,y_n)$与$(x_0,y_0)$分别表示$P_n$与$P_0$时，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P_n=P_0$显然等价于$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=x_0$，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n=y_0$。同样地，当以$\rho_n=\rho(P_n,P_0)$表示点$P_n$与$P_0$之间距离时，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P_n=P_0$也就等价于$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\rho_n=0$。由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理。

定理1（Cauchy准则）　平面点列$\left\{P_n \right\}$收敛的充要条件是：任给正数$\epsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，对一切正整数$p$，都有
$$\rho(P_n,P_{n+p})<\epsilon$$

定理2（闭域套定理）　设$\left\{D_n \right\}$是$R^2$中的闭域列，它满足：
（i）$D_n \supset D_{n+1}$，$n=1,2,\cdots$；
（ii）$d_n=d(D_n)$，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}d_n=0$，
　　则存在惟一的点$P_0 \in D_n$，$n=1,2,\cdots$。

定理3（聚点定理）　设$E \subset R^2$为有界无限点集，则$E$在$R^2$中至少有一个聚点。

推论　有界无限点列$\left\{P_n \right\} \subset R^2$必存在收敛子列$\left\{P_{n_k} \right\}$。

定理4（有限覆盖定理）　设$D \subset R^2$为一有界闭域，$\left\{\Delta_\alpha \right\}$为一开域族，它覆盖了$D$（即$D \subset \bigcup\limits_{\alpha} \Delta_{\alpha}$），则在$\left\{\Delta_\alpha \right\}$中必存在有限个开域$\Delta_1$，$\Delta_2$，$\cdots$，$\Delta_n$，它们同样覆盖了$D$（即$D \subset \bigcup\limits_{i=1}^n \Delta_i$）。

　　在更一般的情况下，可将定理4中的$D$改设为有界闭集，而$\Delta_\alpha \subset R^2$为一族开集，此时定理结论依然成立。