有界闭域上连续函数的性质

castelu

定理1（有界性与最大、最小值定理）　若函数$f$在有界闭域$D \subset R^2$上连续，则$f$在$D$上有界，且能取得最大值与最小值．

定理2（一致连续性定理）　若函数$f$在有界闭域$D \subset R^2$上连续，则$f$在$D$上一致连续．即对任何$\epsilon>0$，总存在只依赖于$\epsilon$的正数$\delta$，使得对一切点$P$、$Q$，只要$\rho(P,Q)<\delta$，就有$|f(P)-f(Q)|<\epsilon$。

定理3（介值性定理）　设函数$f$在有界闭域$D \subset R^2$上连续，若$P_1$，$P_2$为$D$中任意两点，且$f(P_1)<f(P_2)$，则对任何满足不等式
$$f(P_1)< \mu <f(P_2)$$
　　的实数$\mu$，必存在点$P_0 \in D$，使得$f(P_0)=\mu$。

　　实际上，定理1与定理2中的有界闭域$D$可以改为有界闭集。但是，介值性定理中所考察的点集$D$只能假设是一区域，这是为了保证它具有连通性，而一般的开集或闭集不一定具有这一特性。此外，由定理3可知，若$f$为区域$D$上的连续函数，则$f(D)$必定是一个区间（有限或无限）。