全微分

castelu

定义1　设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$内有定义，对于$U(P_0)$中的点$P(x,y)=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$，若函数$f$在点$P_0$处的全增量$\Delta z$可表示为：
$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$
$$=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)，$$
　　其中$A$，$B$是仅与点$P_0$有关的常数，$\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，$o(\rho)$是较$\rho$高阶的无穷小量，则称函数$f$在点$P_0$可微。并称上式中关于$\Delta x$，$\Delta y$的线性函数$A\Delta x+B\Delta y$为函数$f$在点$P_0$的全微分，记作
$$dz|_{P_0}=df(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y$$

　　由上式可见$dz$是$\Delta z$的线性主部，特别当$|\Delta x|$，$|\Delta y|$充分小时，全微分$dz$可作为全增量$\Delta z$的近似值，即
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y，$$
　　这里
$$\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)}\alpha=\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y) \to (0,0)}\beta=0。$$

定理1（可微的必要条件）　若二元函数$f$在其定义域内一点$(x_0,y_0)$处可微，则$f$在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且
$$A=f_x(x_0,y_0)，B=f_y(x_0,y_0)。$$

　　依此函数$f$在点$(x_0,y_0)$的全微分可惟一地表示为
$$df|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0) \cdot \Delta x+f_y(x_0,y_0) \cdot \Delta y。$$
　　与一元函数的情况一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即
$$\Delta x=dx，\Delta y=dy，$$
　　所以全微分又可写为
$$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy。$$
　　若函数$f$在区域$D$上每一点$(x,y)$都可微，则称函数$f$在区域$D$上可微，且$f$在$D$上的全微分为
$$df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy。$$

定理2（可微的充分条件）　若函数$z=f(x,y)$的偏导数在点$(x_0,y_0)$的某邻域内存在，且$f_x$与$f_y$在点$(x_0,y_0)$处连续，则函数$f$在点$(x_0,y_0)$可微。

定理3（中值公式）　设函数$f$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内存在偏导数，若$(x,y)$属于该邻域，则存在$\xi=x_0+\theta_1(x-x_0)$和$\eta=y_0+\theta_2(y-y_0)$，$0<\theta_1,\theta_2<1$，使得
$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta)(y-y_0)。$$

定义2　设$P$是曲面$S$上一点，$\Pi$为通过点$P$的一个平面，曲面$S$上的动点$Q$到定点$P$和到平面$\Pi$的距离分别为$d$与$h$。若当$Q$在$S$上以任何方式趋近$P$时，恒有$\frac{h}{d} \to 0$，则称平面$\Pi$为曲面$S$在点$P$处的切平面，$P$为切点。

定理4　曲面$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$存在不平行于$z$轴的切平面$\Pi$的充要条件是函数$f$在点$P_0(x_0,y_0)$可微。

　　定理4说明：若函数$f$在$(x_0,y_0)$可微，则曲面$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为
$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)。$$
　　过切点$P$与切平面垂直的直线称为曲面在点$P$的法线，由切平面方程知道，法线的方向数是
$$\pm (f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)，$$
　　所以过切点$P$的法线方程是
$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}。$$
　　二元函数全微分的几何意义是，当自变量增量为$\Delta x$，$\Delta y$时，函数$z=f(x,y)$的增量$\Delta z$是竖坐标上的一段，而二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分$dz=f_x(x_0,y_0) \cdot \Delta x+f_y(x_0,y_0) \cdot \Delta y$的值是过$P$的切平面上，当自变量$x$，$y$分别由$x_0$，$y_0$增加到$x_0+\Delta x$，$y_0+\Delta y$时的增量，于是$\Delta z$与$dz$之差的值随着$\rho \to 0$而趋于零，而且是较$\rho$高阶的无穷小量。