平面曲线的切线与法线

castelu

　　设平面曲线由方程$F(x,y)=0$给出，它在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内满足隐函数定理条件，于是在$P_0$附近所确定的连续可微隐函数$y=f(x)$（或$x=g(y)$）和方程$F(x,y)=0$在$P_0$附近表示同一曲线，从而该曲线在点$P_0$处存在切线和法线，其方程分别为
$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)（或x-x_0=g'(y_0)(y-y_0)）$$
　　与
$$y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)（或x-x_0=-\frac{1}{g'(y_0)}(y-y_0)）。$$
　　由于
$$f'(x)=-\frac{F_x}{F_y}（或g'(y)=-\frac{F_y}{F_x}），$$
　　所以曲线$F(x,y)=0$在点$P_0$处的切线与法线方程为
　　切线：$F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0$，
　　法线：$F_y(x_0,y_0)(x-x_0)-F_x(x_0,y_0)(y-y_0)=0$。