空间曲线积分与路线的无关性

castelu

　　由Stokes公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件。为此先介绍一下空间单连通区域的概念。
　　区域$V$称为单连通区域，如果$V$内任一封闭曲线皆可以不经过$V$以外的点而连续收缩于$V$的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连通区域。如环状区域不是单连通区域，而是复连通区域。
　　与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。

定理　设$\Omega \subset R^3$为空间单连通区域。若函数$P$，$Q$，$R$在$\Omega$上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：
（i）对于$\Omega$内任一按段光华的封闭曲线$L$有
$$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0；$$
（ii）对于$\Omega$内任一按段光华的曲线$L$，曲线积分
$$\int_L Pdx+Qdy+Rdz$$
与路线无关
（iii）$Pdy+Qdy+Rdz$是$\Omega$内某一函数$u$的全微分，即
$$du=Pdx+Qdy+Rdz；$$
（iv）$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，$\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$，$\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$
在$\Omega$内处处成立。