一般隐函数定理

castelu

　　设$D \subset R^n$是开集，$f: D \to R$，$\phi: D \to R^m$，$n=m+r$，并改用行向量记$x=(x_1,\cdots,x_n=(x_1,\cdots,x_r,x_{r+1},\cdots,x_{r+m})=(y,z)$，$y \in R^r$，$z \in R^m$。现在讨论在条件
$$\phi(x)=\phi(y,z)=0$$
　　限制下，求函数$f(x)=f(y,z)$的极值。对于这个条件极值问题，它的Largrange函数为
$$L(x,\lambda)=L(y,z,\lambda)=f(y,z)+\lambda^T\phi(y,z)，$$
　　其中$\lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_m)^T$为Largrange乘数向量。于是Largrange乘数法的向量形式是：

定理　对以上所设的函数$f$，$\phi$若满足条件：
（i）$f$，$\phi$在$D$内有连续导数；
（ii）$\phi(x_0)=\phi(y_0,z_0)=0$；
（iii）${\rm rank} \phi'(x_0)={\rm rank}[\phi_y'(y_0,z_0),\phi_z'(y_0,z_0)]=m$；
（iv）$x_0=(y_0,z_0)$是$f$在条件
$$\phi(x)=\phi(y,z)=0$$
　　下的条件极值点，
　　则存在$\Lambda_0 \in R^m$，使得$(x_0,\Lambda_0)$是
$$L(x,\lambda)=L(y,z,\lambda)=f(y,z)+\lambda^T\phi(y,z)，$$
　　所设函数$L$的稳定点即满足
$$L'(x_0,\Lambda_0)=[L_x(x_0,\Lambda_0)+L_\lambda(x_0,\Lambda_0)]=0。$$
　　但因$L_\lambda(x_0,\Lambda_0)=[\phi(x_0)]^T=0$（条件（ii）），故上式等同于
$$L_x(x_0,\Lambda_0)=f'(x_0)+\Lambda_0^T \phi'(x_0)=0。$$