外积与微分形式

castelu

　　在已有微分的加法和数乘运算之外，再定义微分之间的乘法运算，称为外积。
　　在三维空间中$dx$，$dy$，$dz$可看作此空间中向量，可定义外积，如$dx$与$dy$的外积记为$dx \wedge dy$。
　　我们称三维空间中自变量微分$dx$，$dy$，$dz$为基本一次微分形式，两个基本一次微分形式的外积$dx \wedge dy$，$dy \wedge dz$，$dz \wedge dx$称为是基本二次微分形式，它们满足以下运算律：
1、$k(dx \wedge dy)=kdx \wedge dy$（其中$k$为实数）；
2、$dx \wedge (dy+dz)=dx \wedge dy+dx \wedge dz$（乘法关于加法的分配律）；
3、$dx \wedge dy=-dy \wedge dx$（反交换律）；
4、$dx \wedge dx=dy \wedge dy=dz \wedge dz=0$。
　　三个基本一次微分形式的连乘外积$dx \wedge dy \wedge dz$，称为基本三次微分形式，并满足以下结合律，即
$$dx \wedge (dy \wedge dz)=(dx \wedge dy) \wedge dz。$$
　　根据上述运算律可推得如下性质：
（i）任何三个不同的基本一次微分形式连乘外积有两种情况：
（a）运用反交换律偶数次后，连乘外积按顺序$dx$，$dy$，$dz$排列，则原来连乘外积等于$dx \wedge dy \wedge dz$。
（b）运用反交换律奇数次后，连乘外积按顺序$dx$，$dy$，$dz$排列，则原来连乘外积与$dx \wedge dy \wedge dz$只相差一个符号。
（ii）在三个基本一次微分形式连乘外积中若有两个相同，则其值为零。
（iii）在三维空间中三个以上基本一次微分形式的连乘外积都等于零，因为其中至少有一个基本一次微分形式要重复出现一次。
　　从几何意义上说，三维空间中的基本一次微分形式$dx$，$dy$，$dz$可理解为空间中有向线段微分，基本二次微分形式$dx \wedge dy$，$dy \wedge dz$，$dz \wedge dx$则是有向面积微元，而基本三次微分形式$dx \wedge dy \wedge dz$则是有向体积微元，它们与过去积分学中$dx$，$dxdy$和$dxdydz$的差别，在于新定义的微元有正，有负，而且与微元的定向有关。
　　设$F$，$P$，$Q$，$R$为三维空间中的函数，下列各式：
$$w^0=F，$$
$$w^1=Pdx+Qdy+Rdz，$$
$$w^2=Pdy \wedge dz+Qdz \wedge dx+Rdx \wedge dy，$$
$$w^3=Fdx \wedge dy \wedge dz$$
　　分别称为三维空间中零次、一次、二次、三次微分形式。
　　按照外积的运算律和性质，可对微分形式进行外积运算，如
$$w_1^1 \wedge w_2^1=(P_1dx+Q_1dy+R_1dz) \wedge (P_2dx+Q_2dy+R_2dz)$$
$$P_1P_2dx \wedge dx+P_1Q_2dx \wedge dy+P_1R_2dx \wedge dz+$$
$$Q_1P_2dy \wedge dx+Q_1Q_2dy \wedge dy+Q_1R_2dy \wedge dz+$$
$$R_1P_2dz \wedge dx+R_1Q_2dz \wedge dy+R_1R_2dz \wedge dz$$
$$=P_1Q_2dx \wedge dy-Q_1P_2dx \wedge dy+Q_1R_2dy \wedge dz-$$
$$=R_1Q_2dy \wedge dz+R_1P_2dz \wedge dx-P_1R_2dz \wedge dx$$
$$= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} P_1&Q_1\\ P_2&Q_2 \end{array}} \right|dx \wedge dy+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} Q_1&R_1\\ Q_2&R_2 \end{array}} \right|dy \wedge dz+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} R_1&P_1\\ R_2&P_2 \end{array}} \right|dz \wedge dx。$$
　　同理可证
$$w_1^1 \wedge w_2^2=(P_1dx+Q_1dy+R_1dz) \wedge (P_2dy \wedge dz+Q_2dz \wedge dx+R_2dx \wedge dy)$$
$$=(P_1P_2+Q_1Q_2+R_1R_2)dx \wedge dy \wedge dz。$$