行列式符号的几何解释

castelu

　　讨论直角坐标为$(x_1,x_2,x_3)$的三维空间，沿轴$Ox_1$，$Ox_2$，$Ox_3$的单位向量为$i_1(1,0,0)^T$，$i_2(0,1,0)^T$，$i_3=(0,0,1)^T$，它们的行列式为
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|=1（>0）。$$
　　在此空间中给定三向量$a=(a_1,a_2,a_3)^T$，$b=(b_1,b_2,b_3)^T$，$c=(c_1,c_2,c_3)^T$，它们的分量组成的行列式不等于零，即
$$\Delta= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}} \right| \ne 0。$$

命题　若$\Delta>0$，我们可以定义三个连续的向量值函数
$$\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t),\alpha_3(t))^T，\beta(t)=(\beta_1(t),\beta_2(t),\beta_3(t))^T，\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))^T$，$（0 \le t \le 1），$$
　　它们满足$\alpha(0)=a$，$\beta(0)=b$，$\gamma(0)=c$，$\alpha(1)=i_1$，$\beta(1)=i_2$，$\gamma(1)=i_3$，而且对任意的$t \in [0,1]$，行列式
$$\Delta(t)= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha_1(t)&\beta_1(t)&\gamma_1(t)\\ \alpha_2(t)&\beta_2(t)&\gamma_2(t)\\ \alpha_3(t)&\beta_3(t)&\gamma_3(t) \end{array}} \right| >0。$$

　　若$\Delta<0$，则不可能构造三个具有上述性质的连续的向量函数。
　　从定向意义看，在$\Delta>0$的情况下，三个有序的向量$a$，$b$，$c$的方向可以看作与$i_1$，$i_2$，$i_3$这三个向量的方向相同；在$\Delta<0$的情况下，$a$，$b$，$c$三向量方向可以看作与$i_1$，$i_2$，$i_3$的方向相反。