重因式

castelu

定义　不可约多项式$p(x)$称为多项式$f(x)$的$k$重因式，如果$p^k(x) \mid f(x)$，而$p^{k+1} \not \mid f(x)$。

　　如果$k=0$，那么$p(x)$根本不是$f(x)$的因式；如果$k=1$，那么$p(x)$称为$f(x)$的单因式；如果$k>1$，那么$p(x)$称为$f(x)$的重因式。
　　显然，如果$f(x)$的标准分解式为
$$f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x) \cdots p_s^{r_s}(x)，$$
那么$p_1(x)$，$p_2(x)$，$\cdots$，$p_s(x)$分别是$f(x)$的$r_1$重，$r_2$重，$\cdots$，$r_s$重因式。指数$r_i=1$的那些不可约因式是单因式；指数$r_i>1$的那些不可约因式是重因式。
　　因为没有一般的方法来求一个多项式的标准分解式，判断有没有重因式的问题就需要用另外的方法解决。
　　设有多项式
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0。$$
　　我们规定它的微商（也称导数）是
$$f'(x)=a_nnx^{n-1}+a_{n-1}(n-1)x^{n-2}+\cdots+a_1。$$
　　这种规定自然来源于数学分析，但是在目前的情况下，我们只把它当作是一个形式的定义。通过直接的验证，可以得出关于多项式微商的基本公式：
$$(f(x)+g(x))'=f'(x)=g'(x)，$$
$$(cf(x))'=cf'(x)，$$
$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，$$
$$(f^m(x))'=m(f^{m-1}(x)f'(x))。$$
　　同样可以定义高阶微商的概念。微商$f'(x)$称为$f(x)$的一阶微商；$f'(x)$的微商$f''(x)$称为$f(x)$的二阶微商；等等。$f(x)$的$k$阶微商记为$f^((k))(x)$。
　　一个$n$（$n \ge 1$）次多项式的微商是一个$n-1$次多项式；它的$n$阶微商是一个常数；它的$n+1$阶微商等于零。

定理　如果不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式（$k \ge 1$），那么它是微商$f'(x)$的$k-1$重因式。

推论1　如果不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式（$k \ge 1$），那么$p(x)$是$f(x)$，$f'(x)$，$\cdots$，$f^{(k-1)}(x)$的因式，但不是$f^{(k)}(x)$的因式。

推论2　不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要条件为$p(x)$是$f(x)$与$f'(x)$的公因式。

推论3　多项式$f(x)$没有重因式的充分必要条件是$f(x)$与$f'(x)$互素。

　　这个推论表明，判断一个多项式有没有重因式，可以通过代换运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的。
　　有些时候，特别是在讨论与解方程有关的问题时，我们常常希望所考虑的多项式没有重因式。为此，以下的结果是有用的。
　　设$f(x)$具有标准分解式
$$f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x) \cdots p_s^{r_s}(x)。$$
　　根据定理，$f(x)$与$f'(x)$的最大公因式必须具有标准分解式
$$p_1^{r_1-1}(x)p_2^{r_2-1}(x) \cdots p_s^{r_s-1}(x)。$$
　　于是
$$\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x) \cdots p_s(x)。$$
　　这是一个没有重因式的多项式，但是它与$f(x)$具有完全相同的不可约因式。因此，这是一个去掉因式重数的有效办法。