多项式函数

castelu

　　设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
　　是$P[x]$中的多项式，$\alpha$是$P$中的数，在上式中用$\alpha$代$x$所得的数
$$a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0$$
　　称为$f(x)$当$x=\alpha$时的值，记为$f(\alpha)$。这样一来，多项式$f(x)$就定义了一个数域$P$上的函数。可以由一个多项式来定义的函数称为数域$P$上的多项式函数。当$P$是实数域时，这就是数学分析中所讨论的多项式函数。
　　因为$x$在与数域$P$中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果
$$h_1(x)=f(x)+g(x)，$$
$$h_2(x)=f(x)g(x)，$$
　　那么
$$h_1(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha)，$$
$$h_2(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha)。$$
　　利用带余除法，我们得到下面常用的定理：

定理1（余数定理）　用一次多项式$x-\alpha$去除多项式$f(x)$，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值$f(\alpha)$。

　　如果$f(x)$在$x=\alpha$时函数值$f(\alpha)=0$，那么$\alpha$就称为$f(x)$的一个根或零点。
　　由余数定理我们得到根与一次因式的关系：

推论　$\alpha$是$f(x)$的根的充分必要条件是$(x-\alpha) \mid f(x)$。

　　由这个关系，我们可以定义重根的概念。$\alpha$称为$f(x)$的$k$重根，如果$(x-\alpha)$是$f(x)$的$k$重因式。当$k=1$时，$\alpha$称为单根；当$k \ge 1$时，$\alpha$称为重根。

定理2　$P[x]$中$n$次多项式（$n \ge 0$）在数域$P$中的根不可能多于$n$个，重根按重数计算。

定理3　如果多项式$f(x)$，$g(x)$的次数都不超过$n$，而它们对$n+1$个不同的数$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_{n+1}$有相同的值，即
$$f(\alpha_i)=g(\alpha_i)，$$
　　$i=1,2,\cdots,n+1$，那么$f(x)=g(x)$。

　　因为数域$P$中有无穷多个数，所以定理3说明了，不同的多项式定义的函数也不相同。如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的。换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理。