Cramer法则

castelu

定理1（Cramer法则）　如果线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{n n}x_n=b_n \end{array} \right. $$
　　的系数矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) $$
　　的行列式
$$d=|A| \ne 0，$$
　　那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
$$x_1=\frac{d_1}{d}，x_2=\frac{d_2}{d}，\cdots，x_n=\frac{d_n}{d}，$$
　　其中$d_j$是把矩阵$A$中第$j$列换成方程组的常数项$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$所成的矩阵的行列式，即
$$d_j= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right|，j=1,2,\cdots,n。$$

　　定理中包含着三个结论：
1、方程组有解；
2、解是唯一的；
3、解由公式给出。
这三个结论是有联系的。
　　定理1通常称为Cramer法则。
　　常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为$(0,0,\cdots,0)$就是一个解，它称为零解。对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说，它有没有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用Cramer法则就有

定理2　如果齐次线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{n n}x_n=0 \end{array} \right. $$
　　的系数矩阵的行列式$|A| \ne 0$，那么它只有零解。换句话说，如果方程组有非零解，那么必有$|A|=0$。

　　Cramer法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在许多问题的讨论中是重要的。但是用Cramer法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个$n$个未知量$n$个方程的线性方程组就要计算$n+1$个$n$级行列式，这个计算量是很大的。