Laplace定理

castelu

定义1　在一个$n$级行列式$D$中任意选定$k$行$k$列（$k \le n$）。位于这些行和列的交点上的$k^2$个元素按照原来的次序组成一个$k$级行列式$M$，称为行列式$D$的一个$k$级子式。当$k<n$时，在$D$中划去这$k$行$k$列后余下的元素按照原来的次序组成的$n-k$级行列式$M'$称为$k$级子式$M$的余子式。

　　从定义立刻看出，$M$也是$M'$的余子式。所以$M$和$M'$可以称为$D$的一对互余的子式。

定义2　设$D$的$k$级子式$M$在$D$中所在的行、列指标分别是$i_1$，$i_2$，$\cdots$，$i_k$；$j_1$，$j_2$，$\cdots$，$j_k$。则$M$的余子式$M'$前面加上符号$(-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}$后称做$M$的代数余子式。

　　因为$M$和$M'$位于行列式$D$中不同的行和不同的列，所以我们有下述

引理　行列式$D$的任一个子式$M$与它的代数余子式$A$的乘积的每一项都是行列式$D$的展开式中的一项，而且符号也一致。

定理1（Laplace定理）　设在行列式$D$中任意取定了$k$（$1 \le k \le n-1$）个行。由这$k$行元素所组成的一切$k$级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式$D$。

　　利用Laplace定理，可以证明

定理2　两个$n$级行列式
$$D_1= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| $$
　　和
$$D_2= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&{}&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{n n} \end{array}} \right| $$
　　的乘积等于一个$n$级行列式
$$C= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{n n} \end{array}} \right| ，$$
　　其中$c_n$是$D_1$的第$i$行元素分别与$D_2$的第$j$列的对应元素乘积之和：
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{i n}b_{nj}。$$

　　上述定理也称为行列式的乘法定理。