矩阵的运算

castelu

　　现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系。下面要定义的运算是矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置。
　　为了确定起见，我们规定一个数域$P$，以下所讨论的矩阵全是由数域$P$中的数组成的。
1、加法

定义1　设
$$A=(a_{ij})_{sn}= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right) ，$$
$$B=(b_{ij})_{sn}= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{s1}&b_{s2}&\cdots&b_{sn} \end{array}} \right) $$
　　是两个$s \times n$矩阵，则矩阵
$$C=(c_{ij})_{sn}=(a_{ij}+b_{ij})_{sn}$$
$$= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}+b_{s1}&a_{s2}+b_{s2}&\cdots&a_{sn}+b_{sn} \end{array}} \right) $$
　　称为$A$和$B$的和，记为
$$C=A+B。$$

　　矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数。由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证，它有
　　结合律：$A+(B+C)=(A+B)+C$；
　　交换律：$A+B=B+A$。
　　元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为$O_{sn}$，在不致引起含混的时候，可简单地记为$O$。显然，对所有的$A$，
$$A+O=A。$$
　　矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{s1}&-a_{s2}&\cdots&-a_{sn} \end{array}} \right) $$
　　称为矩阵$A$的负矩阵，记为$-A$。显然有
$$A+(-A)=O。$$
　　矩阵的减法定义为
$$A-B=A+(-B)$$
　　根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：
$$秩(A+B) \le秩(A)+秩(B)$$

2、乘法

定义2　设
$$A=(a_{ij})_{sn}，B=(b_{ij})_{nm}，$$
　　那么矩阵
$$C=(c_{ij})_{sm}，$$
　　其中
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{i n}b_{nj}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}，$$
　　称为$A$与$B$的乘积，记为
$$C=AB。$$

　　由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵$A$与$B$的乘积$C$的第$i$行第$j$列的元素等于第一个矩阵$A$的第$i$行与第二个矩阵$B$的第$j$列的对应元素乘积的和。当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。
　　如果
$$A=(a_{ij})_{sn}$$
　　是一线性方程组的系数矩阵，而
$$X= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) ，B= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_s \end{array}} \right) $$
　　分别是未知量和常数项所成的$n \times 1$和$s \times 1$矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式
$AX=B$。
　　矩阵的乘法适合结合律。设
$$A=(a_{ij})_{sn}，B=(b_{ij})_{nm}，C=(c_{ij})_{mr}，$$
$$(AB)C=A(BC)。$$
　　但是，矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来，
$$AB \ne BA。$$
　　这是由于，一方面在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义。所以，当$AB$有意义时，$BA$不一定有意义。另一方面即使$AB$和$BA$都有意义，它们的级数也不一定相等，因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数。
　　两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点。由此还可得出矩阵乘法的消去律不成立。即当$AB=AC$时不一定有$B=C$。

定义3　主对角线上的元素全是$1$，其余元素全是$0$的$n \times n$矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{array}} \right) $$
　　称为$n$级单位矩阵，记为$E_n$，或者在不致引起含混的时候简单写为$E$。显然有
$$A_{sn}E_n=A_{sn}，$$
$$E_sA_{sn}=A_{sn}。$$
　　矩阵的乘法和加法还适合分配律，即
$$A(B+C)=AB+AC，$$
$$(B+C)A=BA+CA。$$

　　应该指出，由于矩阵的乘法不适合交换律，所以上述两式是两条不同的规律。
　　我们还可以定义矩阵的方幂。设$A$是一$n \times n$矩阵，定义
$$ \left\{ \begin{array}{l} A^1=A\\ A^{k+1}=A^kA \end{array} \right. $$
　　换句话说，$A^k$就是$k$个$A$连乘。当然，方幂只能对行数与列数相等的矩阵来定义。由乘法的结合律，不难证明
$$A^kA^l=A^{k+l}，$$
$$(A^k)^l=A^{kl}，$$
　　这里$k$，$l$是任意正整数。因为矩阵乘法不适合交换律，所以$(AB)^k$与$A^kB^k$一般地不相等。

3、数量乘法

定义4　矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{s1}&ka_{s2}&\cdots&ka_{sn} \end{array}} \right) $$
　　称为矩阵$A=(a_{ij})_{sn}$与数$k$的数量乘积，记为$kA$。换句话说，用数$k$乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上$k$。
　　不难验证，数量乘积适合以下的规律：
$$(k+l)A=kA+lA，$$
$$k(A+B)=kA+kB，$$
$$k(lA)=(kl)A，$$
$$1A=A，$$
$$k(AB)=(kA)B=A(kB)。$$
　　矩阵
$$kE= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&0&\cdots&0\\ 0&k&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&k \end{array}} \right) $$
　　通常称为数量矩阵。作为
$$k(AB)=(kA)B=A(kB)$$
　　的特殊情形，如果$A$是一$n \times n$矩阵，那么有
$$kA=(kE)A=A(kE)。$$
　　这个式子说明，数量矩阵与所有的$n \times n$矩阵作乘法是可交换的。可以证明：如果一个$n$级矩阵与所有$n$级矩阵作乘法是可交换的。那么　　这个矩阵一定是数量矩阵。再有，
$$kE+lE=(k+l)E，$$
$$(kE)(lE)=(kl)E，$$
　　这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法。

4、转置
　　把一矩阵$A$的行列互换，所得到的矩阵称为$A$的转置，记为$A'$（很多书上也记为$A^T$。可确切地定义如下：

定义5　设
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right) ，$$
　　所谓$A$的转置就是指矩阵
$$A'= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{s1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{s2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right) 。$$

　　显然，$s \times n$矩阵的转置是$n \times s$矩阵。
　　矩阵的转置适合以下的规律：
$$(A')'=A，$$
$$(A+B)'=A'+B'，$$
$$(AB)'=B'A'，$$
$$(kA)'=kA'。$$
　　矩阵两次转置就还原，这是显然的。