子空间的交与和

castelu

定理1　如果$V_1$，$V_2$是线性空间$V$的两个子空间，那么它们的交$V_1 \cap V_2$也是$V$的子空间。

定义　设$V_1$，$V_2$是线性空间$V$的子空间，所谓$V_1$与$V_2$的和，是指由所有能表示成$\alpha_1+\alpha_2$，而$\alpha_1 \in V_1$，$\alpha_2 \in V_2$的向量组成的子集合，记作$V_1+V_2$。

定理2　如果$V_1$，$V_2$是$V$的子空间，那么它们的和$V_1+V_2$也是$V$的子空间。

　　由定义不难看出，子空间的和适合下列运算规律：
$$V_1+V_2=V_2+V_1（交换律）$$
$$(V_1+V_2)+V_3=V_1+(V_2+V_3)（结合律）$$
　　由结合律，我们可以定义多个子空间的和
$$V_1+V_2+\cdots+V_s=\sum\limits_{i=1}^s V_i。$$
它是由所有表示成
$$\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s，\alpha_i \in V_i（i=1,2,\cdots,s）$$
的向量组成的子空间。

　　不难证明，关于子空间的交与和有以下结论：
1、设$V_1$，$V_2$，$W$都是子空间，那么由$W \subset V_1$与$W \subset V_2$可推出$W \subset V_1 \cap V_2$；而由$W \supset V_1$与$W \supset V_2$可推出$W \supset V_1+V_2$。
2、对于子空间$V_1$与$V_2$，以下三个论断是等价的：
1）$V_1 \subset V_2$；
2）$V_1 \cap V_2=V_1$；
3）$V_1+V_2=V_2$。

　　关于两个子空间的交与和的维数，有以下的定理。

定理3（维数公式） 如果$V_1$，$V_2$是线性空间$V$的两个子空间，那么
$$维(V_1)+维(V_2)=维(V_1+V_2)+维(V_1 \cap V_2)。$$

　　从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小。例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于$4$。由此说明这两张平面的交是一维的直线。
　　一般地，我们有：

推论　如果$n$维线性空间$V$中两个子空间$V_1$，$V_2$的维数之和大于$n$，那么$V_1$，$V_2$必含有非零的公共向量。