子空间的直和

castelu

　　子空间的直和是子空间的和的一个重要的特殊情形。

定义1　设$V_1$，$V_2$是线性空间$V$的子空间，如果和$V_1+V_2$中每个向量$\alpha$的分解式
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2，\alpha_1 \in  V_1，\alpha_2 \in V_2，$$
　　是唯一的，这个和就称为直和，记为$V_1 \oplus V_2$。

定理1　和$V_1+V_2$是直和的充分必要条件是等式
$$\alpha_1+\alpha_2=0，$$
$$\alpha_i \in V_i（i=1,2）$$
　　只有在$\alpha_i$全为零向量时才成立。

推论　和$V_1+V_2$为直和的充分必要条件是
$$V_1 \cap V_2={0}。$$

定理2　设$V_1$，$V_2$是$V$的子空间，令$W=V_1+V_2$，则
$$W=V_1 \oplus V_2$$
　　的充分必要条件为
$$维(W)=维(V_1)+维(V_2)。$$

定理3　设$U$是线性空间$V$的一个子空间，那么一定存在一个子空间$W$使$V=U \oplus W$。

　　子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形。

定义2　设$V_1$，$V_2$，$\cdots$，$V_s$都是线性空间$V$的子空间。如果和$V_1+V_2+\cdots+V_s$中每个向量$\alpha$的分解式
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s，\alpha_i \in V_i（i=1,2,\cdots,s）$$
　　是唯一的，这个和就称为直和。记为$V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$。

　　和两个子空间的直和一样，我们有

定理4　$V_1$，$V_2$，$\cdots$，$V_s$是$V$的一些子空间，下面这些条件是等价的：
1）$W=\sum\limits V_i$是直和；
2）零向量的表法唯一；
3）$V_i \cap \sum\limits_{j \ne i} V_j={0}$（$i=1,2,\cdots,s$）；
4）$维(W)=\sum\limits 维(V_i)$。