线性变换

castelu

　　线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象。我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系。在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射。线性空间$V$到自身的映射通常称为$V$的一个变换。
　　下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域$P$上的线性空间。

定义　线性空间$V$的一个变换$\mathcal A$称为线性变换，如果对于$V$中任意的元素$\alpha$，$\beta$和数域$P$中任意数$k$，都有
$$\mathcal A(\alpha+\beta)=\mathcal A(\alpha)+\mathcal A(\beta)，$$
$$\mathcal A(k\alpha)=k\mathcal A(\alpha)。$$
　　以后我们一般用花体拉丁字母$\mathcal A$，$\mathcal B$，$\cdots$代表$V$的变换，$\mathcal A(\alpha)$或$\mathcal A\alpha$代表元素$\alpha$在变换$\mathcal A$下的像。
　　定义中等式
$$\mathcal A(k\alpha)=k\mathcal A(\alpha)$$
　　所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。
　　下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的。
　　平面上的向量构成实数域上的二维线性空间。把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转$\theta$角，就是一个线性变换，我们用$\phi_\theta$表示。如果平面上一个向量$\alpha$在直角坐标系下的坐标是$(x,y)$，那么像$\phi_\theta(\alpha)$的坐标，即$\alpha$旋转$\theta$角之后的坐标$(x',y')$是　　按照公式
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x'\\ y' \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) $$
　　来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换。
　　设$\alpha$是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量$\zeta$变到它在$\alpha$上的内射影的变换也是一个线性变换，以$\Pi_{\alpha}$表示它。
用公式表示就是
$$\Pi_{\alpha}(\zeta)=\frac{(\alpha,\zeta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha。$$
　　这里$(\alpha,\zeta)$，$(\alpha,\alpha)$表示内积。
　　线性空间$V$中的恒等变换或称单位变换$\mathcal \epsilon$，即
$$\mathcal \epsilon(\alpha)=\alpha（\alpha \in V），$$
　　以及零变换$\mathcal O$，即
$$\mathcal O(\alpha)=0（\alpha \in V）$$
　　都是线性变换。
　　设$V$是数域$P$上的线性空间，$k$是$P$中某个数，定义$V$的变换如下：
$$\alpha \to k\alpha，\alpha \in V。$$
　　不难证明，这是一个线性变换，称为由数$k$决定的数乘变换，可用$\mathcal K$表示。显然，当$k=1$时，我们便得恒等变换，当$k=0$时，便得零变换。
　　在线性空间$P[x]$或者$P[x]_n$中，求微商是一个线性变换。这个变换通常用$\mathcal D$代表，即
$$\mathcal D(f(x))=f'(x)。$$
　　定义在闭区间$[a,b]$上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以$C(a,b)$代表。在这个空间中，变换
$$\mathcal T (f(x))=\int_a^x f(t)dt$$
　　是一线性变换。

　　不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：
1、设$\mathcal A$是$V$的线性变换，则$\mathcal A(0)=0$，$\mathcal A(-\alpha)=-\mathcal A(\alpha)$。
2、线性变换保持线性组合与线性关系式不变。换句话说，如果$\beta$是$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$的线性组合：
$$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r，$$
　　那么经过线性变换$\mathcal A$之后，$\mathcal A(\beta)$是$\mathcal A(\alpha_1)$，$\mathcal A(\alpha_2)$，$\cdots$，$\mathcal A(\alpha_r)$同样的线性组合：
$$A(\beta)=k_1\mathcal A(\alpha_1)+k_2\mathcal A(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathcal A(\alpha_r)。$$
　　又如果$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$之间也有同样的关系
$$k_1\mathcal A(\alpha_1)+k_2\mathcal A(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathcal A(\alpha_r)=0。$$
　　以上两点，根据定义不难验证，由此即得
3、线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
　　但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组。例如零变换就是这样。