Jordan标准形

castelu

　　并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形。下面先介绍一下，在适当选择的基下，一般的一个线性变换能化简成什么形状。
　　我们的讨论限制在复数域中。

定义　形式为
$$J(\lambda,t)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda&0&\cdots&0&0&0\\ 1&\lambda&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\lambda&0\\ 0&0&\cdots&0&1&\lambda \end{array}} \right)_{t \times t}$$
　　的矩阵称为若尔当（Jordan）块，其中$\lambda$是复数。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) $$
　　其中
$$A_i= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda_i&&&&\\ 1&\lambda_i&&&\\ &\ddots&\ddots&&\\ &&1&\lambda_i&\\ &&&1&\lambda_i \end{array}} \right) _{k_i \times k_i}，$$
　　并且$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\cdots$，$\lambda_s$中有一些可以相等。

　　一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵。
　　因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵，所以不难算出，在一个若尔当形矩阵中，主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根（重根按重数计算）。

定理1　设$\mathcal A$是复数域上线性空间$V$的一个线性变换，则在$V$中必定存在一组基，使$\mathcal A$在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。称为$\mathcal A$的若尔当标准形。

　　上述结果用矩阵表示就是：

定理2　每个$n$级复矩阵$A$都与一个若尔当形矩阵相似。

定理3　每个$n$级复矩阵$A$都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵$A$唯一决定的，它称为$A$的若尔当标准形。

　　定理3换成线性变换的语言来说就是：

定理4　设$\mathcal A$是复数域上$n$维线性空间$V$的线性变换，在$V$中必定存在一组基，使$\mathcal A$在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被$\mathcal A$唯一决定的。

　　应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得

定理5　复数矩阵$A$与对角矩阵相似的充分必要条件是，$A$的初等因子全为一次的。

　　根据若尔当形的作法，可以看出矩阵$A$的最小多项式就是$A$的最后一个不变因子$d_n(x)$。因此有：

定理6　复数矩阵$A$与对角矩阵相似的充分必要条件是，$A$的不变因子都没有重根。