线性函数

castelu

定义　设$V$是数域$P$上的一个线性空间，$f$是$V$到$P$的一个映射，如果$f$满足
1）$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)$；
2）$f(k\alpha)=kf(\alpha)$，
式中$\alpha$，$\beta$是$V$中任意元素，$k$是$P$中任意数，则称$f$为$V$上的一个线性函数。

　　从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1、设$f$是$V$上的线性函数，则$f(0)=0$，$f(-\alpha)=-f(\alpha)$。
2、如果$\beta$是$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$的线性组合：
$$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s，$$
　　那么
$$f(\beta)=k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)+\cdots+k_s f(\alpha_s)。$$

　　设$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$是$P$中任意数，$X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是$P^n$中的向量。函数
$$f(X)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$
　　就是$P$上的一个线性函数。当$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$时，得$f(X)=0$，称为零函数，我们仍用$0$表示零函数。
　　实际上，$P^n$上的任一个线性函数都可表成这种形式。
　　$A$是数域$P$上一个$n$级矩阵，设
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) ，$$
　　则$A$的迹
$${\rm Tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$$
　　是$P$上全体$n$级矩阵构成的线性空间$P^{n \times n}$上的一个线性函数。
　　设$V=P[x]$，$t$是$P$中一个取定的数。定义$P[x]$上的函数$L_t$为：
$$L_t(p(x))=p(t)，p(x) \in P[x]，$$
　　即$L_t(p(x))$为$p(x)$在$t$点的值，$L_t(p(x))$是$P[x]$上的线性函数。
　　如果$V$是数域$P$上一个$n$维线性空间。取定$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$。对$V$上任意线性函数$f$及$V$中任意向量$\alpha$：
$$\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n$$
　　都有
$$f(\alpha)=f(\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i)=\sum\limits_{i=1}^n x_i f(\epsilon_i)。$$
　　因此，$f(\alpha)$由$f(\epsilon_1)$，$\cdots$，$f(\epsilon_n)$的值唯一确定。反之，任给$P$中$n$个数$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，用下式定义$V$上一个函数$f$：
$$f(\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i)=\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i。$$
　　这是一个线性函数，并且
$$f(\epsilon_i)=a_i，i=1,2,\cdots,n。$$
　　因此，有：

定理　设$V$是$P$上一个$n$维线性空间，$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是$V$的一组基，$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$是$P$中任意$n$个数，存在唯一的$V$上线性函数$f$使
$$f(\epsilon_i)=a_i，i=1,2,\cdots,n。$$