对偶空间

castelu

　　设$V$是数域$P$上一个$n$维线性空间。$V$上全体线性函数组成的集合记作$L(V,P)$。可以用自然的方法在$L(V,P)$上定义加法和数量乘法。
　　设$f$，$g$是$V$的两个线性函数。定义函数$f+g$如下：
$$(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha)，\alpha \in V。$$
　　$f+g$也是线性函数。
　　$f+g$称为$f$与$g$的和。
　　还可以定义数量乘法。设$f$是$V$上的线性函数，对$P$中任意数$k$，定义函数$kf$如下：
$$(kf)(\alpha)=k(f(\alpha))，\alpha \in V，$$
$kf$称为$k$与$f$的数量乘积，易证$kf$也是线性函数。
　　容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，$L(V,P)$成为数域$P$上的线性空间。
　　取定$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，作$V$上$n$个线性函数$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$，使得
$$f_i(\epsilon_i)= \left\{ \begin{array}{l} 1,j=i\\ 0,j \ne i \end{array} \right. ，i,j=1,2,\cdots,n。$$
　　因为$f_i$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的。对$V$中向量$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i$，有$f_i(\alpha)=x_i$，
　　即$f_i(\alpha)$是$\alpha$的第$i$个坐标的值。

引理　对$V$中任意向量$\alpha$，有
$$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n f_i(\alpha)\epsilon_i，$$
　　而对$L(V,P)$中任意向量$f$，有
$$f=\sum\limits_{i=1}^n f(\epsilon_i)f_i。$$

定理1　$L(V,P)$的维数等于$V$的维数，而且$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$是$L(V,P)$的一组基。

定义　$L(V,P)$称为$V$的对偶空间。由
$$f_i(\epsilon_i)= \left\{ \begin{array}{l} 1,j=i\\ 0,j \ne i \end{array} \right. ，i,j=1,2,\cdots,n。$$
　　决定的$L(V,P)$的基，称为$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$的对偶基。

　　我们简单地把$V$的对偶空间记作$V^*$。
　　下面讨论$V$的两组基的对偶基之间的关系。

定理2　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$及$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$是线性空间$V$的两组基，它们的对偶基分别为$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$及$g_1$，$g_2$，$\cdots$，$g_n$。如果由$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$到$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$的过渡矩阵为$A$，那么由$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$到$g_1$，$g_2$，$\cdots$，$g_n$的过渡矩阵为$(A')^{-1}$。

　　设$V$是$P$上一个线性空间，$V^*$是其对偶空间，取定$V$中一个向量$x$，定义$V^*$的一个函数$x^{* *}$如下：
$$x^{* *}(f)=f(x)，f \in V^*。$$
　　根据线性函数的定义，容易检验$x^{* *}$是$V^*$上的一个线性函数，因此是$V^*$的对偶空间${V^*}^*=V^{* *}$中的一个元素。

定理3　$V$是一个线性空间，$V^{* *}$是$V$的对偶空间的对偶空间。$V$到$V^{* *}$的映射
$$x \to x^{* *}$$
　　是一个同构映射。

　　这个定义说明，线性空间$V$也可看成$V^*$的线性函数空间，$V$与$V^*$实际上是互为线性函数空间的。这就是对偶空间名词的来由。由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的。