向量的内积

castelu

　　物理学中，一个质点在力$f$的作用下，经过位移$s$，$f$所做的功为
$$W=|f||s|\cos \alpha，$$
　　其中，$\alpha$是$f$与$s$的夹角。类似于功$W$这样的量，我们引进向量的内积。

定义　两向量$a$，$b$的内积，记为$a \cdot b$，规定为一个实数：
$$a \cdot b=|a||b|\cos \angle (a,b)，$$
其中$\angle (a,b)$是$a$与$b$的夹角，且$0 \le \angle (a,b) \le \pi$。
　　若$a$，$b$中有一个是零向量，则$a \cdot b=0$。

　　由定义可得
$$|a|=\sqrt{a \cdot a}。$$
　　当$a \ne 0$，$b \ne 0$时，
$$\cos \angle (a,b)=\frac{a \cdot b}{|a||b|}。$$

命题　$a$与$b$互相垂直当且仅当$a \cdot b=0$。

　　定义和命题表明了向量的内积，向量的长度和向量夹角之间的关系。对任意的向量$a$，$b$，$c$及任意实数$\lambda$，向量的内积满足以下规律：
（1）$a \cdot b=b \cdot a$，
（2）$(\lambda a) \cdot b=\lambda (a \cdot b)$，
（3）$(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$，
（4）$a \cdot a \ge 0$，等号当且仅当$a=0$时成立。

　　取仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，设向量$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，则
$a \cdot b=(\sum\limits_{i=1}^3 a_ie_i) \cdot (\sum\limits_{j=1}^3 b_je_j)=\sum\limits_{i,j=1}^3 a_ib_je_i \cdot e_j$。
可见只要知道坐标向量$e_1$，$e_2$，$e_3$之间的内积（9个数，实际上只有6个数）就可以求出任意两个向量的内积。这九个数称为仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$的度量参数。
　　如果$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$是直角标架，则有
$$e_i \cdot e_j=\left\{ \begin{array}{l}
1,i=j,\\
0,i \ne j.
\end{array} \right.$$
　　于是得到
$$a \cdot b=\sum\limits_{i=1}^3 a_ib_i。$$

定理　在直角坐标系中，两向量的内积等于它们的对应坐标的乘积之和。

　　在直角坐标系中，由定理得到，向量$a=(a_1,a_2,a_3)$的长度为
$$a=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}。$$
　　由此得空间两点$P_i(x_i,y_i,z_i)$（$i=1,2$）的距离公式为
$$|\vec {P_1P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}。$$
　　在直角坐标系$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$中，向量$a=(a_1,a_2,a_3)$与坐标向量$e_1$，$e_2$，$e_3$的交角（大于等于$0$，小于等于$\pi$）称为向量$a$的方向角，分别用$\alpha$，$\beta$，$\gamma$来表示，它们的余弦$\cos \alpha$，$\cos \beta$，$\cos \gamma$称为向量$a$的方向余弦。
　　因为
$$a \cdot e_1=a_1=|a| \cdot |e_i| \cos \angle (a,e_1)=|a|\cos \alpha$$
　　所以
$$\cos \alpha=\frac{a_1}{|a|}。$$
　　同理
$$\cos \beta=\frac{a_2}{|a|}，\cos \gamma=\frac{a_3}{|a|}。$$
　　由此可得
$$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma=1。$$
　　因而
$$a^0=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)。$$
　　与方向余弦成比例的任一数组$(\lambda,\mu,\nu)$，都称为向量$a$的一组方向数。即如
$$\lambda : \mu : \nu=\cos \alpha:\cos \beta:\cos \gamma，$$
则$(\lambda,\mu,\nu)$为$a$的一组方向数。一个向量的方向余弦是唯一的，但方向数有无数多组。