杂题一道

zhangyuong

从连续自然数1,2,3...,2008中任意取n个不同的数<br>(1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017?<br>(2)当n&lt;=1006(n是正整数)时,上述结论是否成立?请说明理由<br>

南山菊

<P>在人教论坛也看到了章鱼发的这题，也看到了五边形老师的解答，觉得他的解答中有些欠缺，作了一些修改：</P>
<P>1、构造(1，2008)、(2，2007)、......、(1004，1005)1004个抽屉，所取的1007个数中必有6个数分别在三个抽屉中，不妨设为a＋b＝2009、c＋d＝2009、e＋f＝2009，如果这6个数中存在某两个数的和为2008(如a＋c＝2008)，则数a、c、e、f四数之和为4017；</P>
<P>如果这6个数中不存在任何两个数的和为2008，重新构造(1，2007)、(2，2006)、......、(1003，1005)、1004、2008共1005个抽屉，则a、b、c、d、e、f必在不同的抽屉中。除前面的6个数外，所取的1001个数中：如果有一个数与前面6个数中的某一个(如a)同一抽屉，则这个抽屉的两个数必与前面6个数中的某两个(如e、f)的和为4017；如果所取的1001个数不在前6个抽屉中的任何一个中，则这1001个数在余下的999个抽屉中必有两个数同抽屉，它们的和与e、f的和也为4017。由此问题得证</P>
<P>2、取1003、1004、1005、1006、......、2008这1006个数，前四个的和最小为4018，因此n为1006时命题不成立。</P>