当年我们期中考前的一道模拟题

战巡

已知函数f(x)在[0,a]上连续可导，且f(a)=0
求证存在ξ∈(0,a)，使得λf(ξ)+ξf'(ξ)=0 (这里λ为任意正数)

castelu

比我们期末考试多了一个λ,但方法是相同的.
设F(x)=x^λf(x),由于x^λ和f(x)都在[0,a]上连续且可导,那么F(x)在[0,a]上连续且可导.
由罗尔定理可知,存在一点ξ∈(0,a),使得F'(ξ)=0
而F'(x)=x^λf'(x)+λx^(λ-1)f(x)=x^λ[f'(x)+λx^-1f(x)]
即存在一点ξ∈(0,a),使得ξ^λ[f'(ξ)+λξ^-1f(ξ)]=0
即f'(ξ)+λξ^-1f(ξ)=0,λf(ξ)+ξf'(ξ)=0,得证.

高山流水

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