全国初中数学竞赛题

xuan2009 · 发表于 2009-2-21 18:58:58

已知a2+b2=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）≥0恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。

战巡 · 发表于 2009-2-21 23:50:35

......
$\\displaystyle a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)=a-2ax-a^2x-b^2x+ax^2+a^2x^2+bx^2+b^2x^2=(a+b+1)x^2-(2a+1)x+a\\ge{0}$
由于x∈[0,1]都满足条件，那么把x=0,x=1分别带入得到
$\\displaystyle a\\ge{0}$
$\\displaystyle a+b+1-2a-1+a\\ge{0},b\\ge{0}$
而二次函数 $\\displaystyle y=(a+b+1)x^2-(2a+1)x+a$ 对称轴为 $\\displaystyle 0\\le{\\frac{2a+1}{2(a+b+1)}=\\frac{2a+1}{2a+1+2b+1}}\\le{1}$

这样要求 $\\displaystyle \\Delta=(2a+1)^2-4a(a+b+1)\\le{0}$
得到
$\\displaystyle ab\\ge{\\frac{1}{4}}$
这样ab最小就是0.25了
然后联立方程组
$\\displaystyle a^2+b^2=1$
$\\displaystyle ab=\\frac{1}{4}$
得到
$\\displaystyle a=\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4}$

$\\displaystyle b=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$

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