几道平面几何题目之间的小联系

zhangyuong · 发表于 2010-3-7 13:19:27

前几天突然想到的东西，先由这个题目引入
是01年的联赛题：
如图，ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线DE和AB交于M
DF和AC交于N
则OH垂直MN

这个题目解答给的是用这个结论：
PQ垂直MN的充要条件是
PM^2-PN^2=QM^2-QN^2

所以一般人也仅知道这个方法

这里我将用另一种方法来解决
主要是基于调和点列
先把题目发出来,我之后会慢慢阐述

zhangyuong · 发表于 2010-3-7 17:31:40

首先介绍调和点列的内容
http://www.2math.cn/thread-1842-1-1.html
里面的第7题，我曾用解析法解决过
对于这样的比例：
PE/EQ=PF/FQ，并且E,F一个在PQ线段内，一个在PQ线段外
这样就称线段PQ被EF调和分割
而将比例改写一下
就有EP/PF=EQ/QF，因此也可以说EF被PQ调和分割

zhangyuong · 发表于 2010-3-7 17:34:08

有了这个就可以正式引入这几个题目，并发掘联系了
为了证明最开始的题目，我需要证明一个引理：
圆O内接四边形ABCD,M=AC∩BD，P=AB∩CD,Q=AD∩BC

那么O是三角形PQM的垂心，或者说O，P，Q，M四点成一垂心组

关于这个引理的证明，我还需要用到另一个定理

zhangyuong · 发表于 2010-3-7 17:38:14

那就是这道很经典的题目：
圆内接四边形ABCD，AD∩BC=Q，AB∩CD=P，过P作圆O的两条切线PE，PF
则Q，E，F三点共线
这个题目的证明比较简单，之后补上

zhangyuong · 发表于 2010-3-7 17:40:45

那么根据这个定理，以及
http://www.2math.cn/forum-62-1.html

里面的第8题，设AC∩BD=M，有Q，M，E，F四点共线
并且将圆心O与P连起来
有PO垂直EF
也就是PO垂直QM
同理QO垂直PM
因此O是三角形PMQ的垂心
这样就把刚刚的引理证毕了
从而有OM垂直PQ

zhangyuong · 发表于 2010-3-7 17:52:17

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-3-7 18:00 编辑

需要时间编辑~~~~~

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