数列不等式难题

极光

设数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=0$，$a_{n-1}=ca_n^3+1-c$，$n \in N^*$，其中$c$为实数。
（I）证明：$a_n \in [0,1]$对任意$n \in N^*$成立的充分必要条件是$c \in [0,1]$；
（II）设$0<c<\frac{1}{3}$，证明：$a_n \ge 1-(3c)^{n-1}$，$n \in N^*$；
（III）设$0<c<\frac{1}{3}$，证明：$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2>n+1-\frac{2}{1-3c}$，$n \in N^*$。