发一道求值的题目

yefan852 · 发表于 2009-8-16 18:57:47

已知
x^2+xy+(1/3)y^2=25
(1/3)y^2+z^2=9
x^2+xz+z^2=16
求xy+2yz+3xz

元蛟 · 发表于 2009-8-18 07:28:08

x=12/根号97
y=32/根号97
z=27/根号291

元蛟 · 发表于 2009-8-18 07:29:17

利用余弦定理构造图形
正弦定理求值

元蛟 · 发表于 2009-8-18 10:56:15

不止这组解
我懒得求

yefan852 · 发表于 2009-8-18 18:29:21

拜托
不要求x,y,z
请看清题目

元蛟 · 发表于 2009-8-18 21:15:14

凑合啦

战巡 · 发表于 2009-8-19 02:30:06

1# yefan852
汗.........
3楼那里第一步已经抓住要领，可惜后面还是兜了圈子........

x^2+xy+y^2/3=25，那么类似余弦定理，可以可令三角形三边长分别为|x|，|y/根号3|，5——这样可知|x|和|y/根号3|之间夹角为150度或30度
同理可知|x|和|z|之间夹角为120度或60度，|y/根号3|和|z|之间夹角90度

这样可以作出两个满足条件的图形，分别如图中所示
其中AO=|y/根号3|，BO=|z|，CO=|x|，AB=3，BC=4，AC=5
而且图1中x,y,z同号，图2中x,y同号，但z和x、y异号

然后来看看要求的xy+2yz+3xz是什么东西
图1中，S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB=(1/2)[|xy/根号3|sin(150)+|xz|sin(120)+|yz/根号3|sin(90)]=[1/(4根号3)][|xy|+2|yz|+3|xz|]
由于图1中x,y,z同号，xy、yz、xz都是正数，因此就有
S△ABC=[1/(4根号3)](xy+2yz+3xz)=4*3/2=6
xy+2yz+3xz=24根号3

图2中嘛~
S△ABC=S△ABO+S△BCO-S△AOC=(1/2)[|yz/根号3|sin(90)+|xz|sin(60)-|xy/根号3|sin(150)]=[1/(4根号3)](-|xy|+2|yz|+3|xz|)
由于这里x,y同号，z与x,y异号，因此xy>0,yz<0,xz<0，原式化为
S△ABC=[1/(4根号3)](-xy-2yz-3xz)=4*3/2=6
xy+2yz+3xz=-24根号3

元蛟 · 发表于 2009-8-19 07:18:38

看错题嘛

yefan852 · 发表于 2009-8-19 11:30:08

嗯
解法就是这样
但是我想问是否还有其他解法？

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