居然是今日第一帖= =

love_ruo

嘎嘎

love_ruo

RT，在等边三角形ABC中，BD=AF=CE，求证：△DEF是等边三角形

战巡

嘎嘎
love_ruo 发表于 2009-10-6 13:15

这个题我们用一个比较搞笑的方法来做~~
角标设定如图

首先假设△FED中有两边相等，假设FD=EF
那么有AF+FD=EF+CE，AD=CF，再加上AB=AC，BD=CE可得△ACF≌△ABD
然后有∠9=∠7，∠EFD=∠3+∠9=∠7+∠9=∠BAC=60，因此△DEF为等边三角形

然后假设三边都不等，反正是对称的，我们随便找一种情况来看，比如DF>DE>EF
这样有AD>BE>CF
根据余弦定理可知
cos∠1=(AB^2+BD^2-AD^2)/(2AB*BD)
cos∠2=(BC^2+CE^2-BE^2)/(2BC*CE)
cos∠3=(AC^2+AF^2-CF^2)/(2AC*AF)
这里AB=BC=AC,BD=CE=AF，AD>BE>CF
因此cos∠1<cos∠2<cos∠3,∠1>∠2>∠3
而∠1+∠8=∠2+∠9=∠3+∠7=60，因此有∠7>∠9>∠8
另一方面∠4=∠1+∠7,∠5=∠2+∠8,∠6=∠3+∠9
这样有∠4>∠5,∠4>∠6
但根据前面的假设DF>DE>EF，应该有∠5>∠6>∠4，这就出现矛盾了
故假设不成立
同理可知当DF、DE、EF不等时，无论大小排序如何都会出矛盾
因此DF、DE、EF只能相等，故△DEF为等边三角形

love_ruo

强大= =另求初中做法- -#

appletree444

如图，延长BA到G，使FA=GA；延长CB到H，使BD=BH；延长AC到I，使IC=CE。再连结图中的红线和蓝线。
可证得：△HBG≌△GAI≌△ICH，△GAF≌△HBD≌△ICE
故∠HGB=∠GIA=∠IHC，边GF=HD=IE，GH=GI=IH，
  ∠BGF=∠CIE=∠BHD。三角形GHI为等边三角形。
所以∠HGF=∠GIE=∠IHD，又边GF=HD=IE，GH=GI=IH。
所以，△GFH≌△IEG≌△HDI。
从而HF=GE=ID，∠GHF=∠IGE=∠HID，
又三角形GHI为等边三角形，∠HGF=∠GIE=∠IHD（已证）。
所以，∠FGE=∠EID=∠DHF，又边GF=HD=IE，HF=GE=ID，所以△FGE≌△EID≌△DHF，所以边DE=EF=FD。
故而三角形DEF为等边三角形，证毕。

移动经验书

LS的，△GAF≌△HBD≌△ICE怎么来的

yefan852

3# 战巡

的确有点意思
将简单的初中问题复杂化了
不过想象力强大

jyc06

orz