不等式竞赛题一道

PaulErdos

设a,b,c＞0，且a+b+c=2S
求证：对任意正整数n，有 成立，其中 表示循环和。

蒋总裁

切比雪夫不等式或者Holder不等式都行
切比雪夫不妨设a>=b>=c  a^(n-1)>=b^(n-1)>=c^(n-1)  1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b)
LHS>=1/3(a+b+c)(a^(n-1)/(b+c)+b^(n-1)/(c+a)+c^(n-1)/(a+b)>=1/3(a+b+c)*1/3(a+b+c)(a^(n-2)/(b+c)+b^(n-2)/(a+c)+c^(n-2)/(a+b))>=……>=(2/3S)^(n-1)(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
因为a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2是熟知的
LHS>=(2/3)^(n-2)S^(n-1)

蒋总裁

Holder不等式
LHS*((b+c)+(c+a)+(a+b))*(1+1+1)^(n-2)>=(a+b+c)^n
LHS>=(2/3)^(n-2)S^(n-1)

PaulErdos

敢问LHS是原式的意思吗？

蒋总裁

是的，难得写了，拿个字母表示！

kuing

LHS是原式左边的意思。。。相应地，RHS表示右边