向量与竞赛中的平面几何证明

PaulErdos · 发表于 2010-3-20 16:42:18

如果运用得当的话，向量法可以为解题带来极大的便利。比如

1992年全国高中数学联赛试卷

第二试

一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的垂心，求证：H1，H2，H3，H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．

大家多多来交流下经验和看法。

jyc06 · 发表于 2010-3-21 16:32:14

你的头像吓到我了- -,,,

如果用向量解,有时还不如用复数

秘密时空 · 发表于 2010-3-27 16:48:47

由欧拉定理可知：
Oi Gi,Hi三点共线，HiGi=2OiGi，因为四个三角形的外心在同一点。
所以这题等价于证明四个三角形的重心共圆，假设圆的中心O为原点，建立坐标系即可

PaulErdos · 发表于 2010-4-4 08:55:34

嗯，有时候复数来做会更方便，主要是多了三角形式，使用起来更加灵活多变

PaulErdos · 发表于 2010-4-4 08:56:42

据我所知，这道题目只需要向量中的一个较弱的定理就可以解决了，建系貌似不方便

zhangyuong · 发表于 2010-4-4 09:38:43

这样泛泛而谈不太好把
就算是写论文，也要多个论据证明把
仅一个题目只能算是个例啊

PaulErdos · 发表于 2010-4-4 10:22:23

不好意思，
在△ABC中，O为其外心，H为其垂心，那么有结论

成立

秘密时空 · 发表于 2010-5-1 11:38:04

把外心O看做0，用复平面很简单

PaulErdos · 发表于 2010-5-2 14:47:16

很简单，怎么个简单法

PaulErdos · 发表于 2010-5-9 09:04:08

以下证明是我摘自一本竞赛书：

新建 Microsoft Word 文档.doc (23.5 KB, 下载次数: 10)
但我并不是很明白，尤其是垂心坐标。

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